Derivadas, extremos locales, puntos de silla y de inflexión

La derivada de una función en un punto mide la ritmo de cambio de la función en ese punto. Este es un conepto fundamental en física y en general en matemática aplicada pues permite expresar el cambio de un sistema físico, si somos capaces de crear un modelo mátemático para dicho sistema.

La definición matemática de derivada dice que una función f es derivable en un punto x0 si existe el límite

\( f'(x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h} \)

ó, equivalentemente, cambiando variables h=x-x0

\( f'(x_{0})= \lim_{x \to x_{0}}{ \frac{f(x)-f(x_{0}) }{x-x_{0}}} \)

Geométricamente, es habitual introducir el concepto de derivada como el límite de las secantes



El límite de estas secantes es la llamada recta tangente a la función en x0.

Otra aproximación al concepto de derivada es que ella existe si la gráfica de la función es "suave" en ese punto, donde por suave queremos decir que es contínua y no tiene vértices o saltos en ese punto.

Un hecho trivial pero importante es que cunado una función tiene derivada en un punto, entonces es contínua en ese punto.

El recíproco del teorema anterior no es cierto, como vamos a ver en el siguiente ejemplo:

\( f(x)=|x| \)

\( f'(x) = \left\{\begin{matrix} -1 & x<0\\ 1 & x>0 \end{matrix}\right. \)

f(x) es contínua en x=0, pero su derivada no está definida en ese punto ya que:

\( f'(0)=lim_{h \to 0}{\frac{f(0+h) - f(0)}{h}} = lim_{h \to 0}{\frac{|h| - |0|}{h}} = \frac{|h|}{h} \)

Obsérvese que el valor de ese límite para es 1 si h >0 y -1 si h< 0. También se dice que los límites laterales no coinciden, o bien que el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos y por tanto, tal límite no existe.

Ya que f'(x) es una función, se puede hablar de f''(x0) como

\( f''(x_{0})=lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f'(x_{0} + h) - f'(x_{0})}{h}} \)

Y análogamente se puede definir f'''(x), f(iv)(x), y así sucesivamente...

Una función derivable f, se dice que es creciente en un intervalo I= [a, b], si x1, x2 ∈ I con x1< x2 entonces f(x1) ≤ f(x2). Al contrario, f es decreciente si x1, x2 ∈ I con x1< x2 entonces f(x1) ≥ f(x2).

Nota: a veces si se escribe en la definición anterior un mayor (o menor) estricto, se dice que la función es estrictamente creciente (o estrictamente decreciente)



Obsérvese que si una función f es creciente en el intervalo [a, b], entonces su pendiente es positiva, es decir

\( f'(x) \geq 0 ,\ \forall x \in [a,b] \)

Análogamente, la pendiente de una función decreciente es negativa.

Así, de nuevo se justifica lo que decíamos al principio de esta sección: la derivada de una función mide la tasa o el ritmo de cambio la función.

Consideremos una función derivable f.

Si la función tiene un mínimo local en x0 la derivada es negativa en algún entorno a la izquierda de x0 (por que la función será decreciente) y positiva en un entorno a la derecha de x0 (por que la función será creciente).

De forma análoga, si f tiene un máximo local en un punto x1, la función es creciente en valores menores que x1 y decreciente para valores mayores que x1. Por tanto la derivada es positiva en algún entorno a la izquierda de x y negativa en un entorno a la derecha de x1.

En ambos casos, tanto en el caso de si x0 mínimo local, o x1 um máximo local, se tiene lo mismo

\( f'(x_{0}) = f'(x_{1}) = 0 \)

Y el recíproco? es cierto? NO!!, si f'(x0) = 0, la función podría tener un máximo, un mínimo, como en el caso de la función f(x)=x3 para el punto x=0, el cual no es ni un máximo ni un mínimo, es lo que se llama un punto de silla.

Gráfica de la función y=x3, x=0 es un punto de silla ya que no es ni máximo ni mínimo local pero y'=0

En general un punto donde f'(x0) = 0 se llama un punto crítico (que puede ser un máximo, un mínimo o un punto de silla).

Esta es una idea que nos puede ayudar a decidir si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de silla y tiene que ver con la derivada segunda.

Si la derivada segunda de f es positiva en x0, entonces f es es convexa en un intervalo al rededor de x0. Al contrario, si f'' es negativa, entonces la función se dice que es cónvava en un intervalo que contiene a x0.

Un punto x0 donde una función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava se llama punto de inflexión (no confundir este concepto con el de punto de silla)

Gráfica de la función y=x3, x=0 es un punto de inflexión ya que la función es convexa en el intervalo (-∞, 0) y cóncava en (0, ∞)

Así dado un punto crítico x0, por tanto f'(x0) = 0 se tiene

Representación de F y sus Derivadas F' y F''

Véase el comportamiento de F, F' y F'' en cada punto singular y cada intervalo
Puntos		x0	x2	x1
F(x)		Mínimo	Punto de inflexión	Máximo
F'(x)		Cero	Máximo	Cero
F''(x)		Valor Positivo	Cero	Valor Negativo
Intervalo	(-∞, x0]	[x0, x2]	[x2, x1]	[x1, ∞)
F(x)	Decreciente, Convexa	Creciente, Convexa	Creciente, Cóncava	Decreciente, Cóncava
F'(x)	Creciente, Negativa	Creciente, Positiva	Decreciente, Positiva	Decreciente, Negativa
F''(x)	Positiva	Positiva	Negativa	Negativa