Convergencia (puntual y uniforme)

Conceptos y principios Básicos

Ya hemos visto en la teoría de los espacios de Hilbert que la clase de funciones L2(T) se puede identificar con la clase de sucesiones l2(Z) mediante la transformada e Fourier, la cual es una aplicación isomorfa e isométrica entre estos espacios.
Convergencia de las series de Fourier al valor medio del salto en puntos con discontinuidades de salto.


Por tanto, para esta clase de funciones, la serie de Fourier es convergente es en el sentido de la norma generada por el espacio de Hilbert, llamada de media cuadrática, es decir, obtuvimos

Si f ∈ L2(T) => ||SN(x) - f(x)|| → 0 cuando N → ∞

Pero es importante resaltar que esta convergencia es en el sentido de la norma en L2(T).

Aún más obtuvimos que dada una sucesión u del espacio



Existe una función de nuestro espacio de funciones para la que u forma los coeficientes de Fourier y la serie trigonométrica formada por esos coeficientes, converge a la función en el sentido de la norma del espacio
L2(T)
Queremos ahora extender un poco más este espacio de funciones y encontrar condiciones de convergencia puntual y uniforme de la serie de fourier.

Teoría en extensión

Comenzamos con un teorema cuya demostración no es trivial.
Teorema

Sea M un espacio de Medida finita (p. e. un intervalo) si p < q entonces Lq(M) ⊂ Lp(M)

Así L1(T) ⊃ L2(T) ⊃ L3(T) ⊃ ...

Concretamente, para que los definición de Coeficientes de Fourier tenga sentido solo es necesario que la función esté en el espacio L1(T)
ya que

Si f ∈ L1(T) => ∫10 |f(x)| dx < ∞

||fn|| = |∫10f(x) e2πinx dx| ≤ ∫10|f(x)| |e2πinx |dx = ∫10|f(x)| dx = || f ||L1 < ∞

Así los coeficientes de Fourier están bien definidos en este espacio
Consideramos ahora el espacio normado de funciones E = (L1(T), || f ||L1) donde la norma

|| f ||L1 = ∫10 |f(x)| dx

Se puede demostrar que E es espacio de Banach (normado y completo).
Consideremos ahora el espacio de sucesiones

l(Z) = {{an} : sup |an| < ∞}

Podemos definir ahora el espacio Normado

H = (l(Z), || {an} ||l∞)

Donde la norma se define como

|| {an} ||l∞ = sup |an|

El espacio H así definido también es un espacio de Banach.

Consideramos ahora la aplicación



En este caso, se puede demostrar que la aplicación T, es lineal, contínua e inyectiva pero no sobreyectiva (como teníamos en el análogo del caso de las funciones de cuadrado integrable, vease la sección sobre los espacios de Hilbert).
Para ver eso solo es necesario
Lema (Riemann - Lebesgue)


De donde se sigue la afirmación de que T no es sobreyectiva, por ejemplo tomar la sucesión

Teorema de convergencia puntual 1 (Criterio de Hölder)
Sea la función

Contínua a trozos, tal que satisface la Condición de Hölder a la derecha y a la izquierda, entonces


El siguiente es un teorema parecido, solo que la condición de Dini es un poco más débil que la condición de Hölder

Teorema de convergencia puntual 2 (Criterio de Dini)
Sea la función

Y sea
Entonces


Observación 1: las funciones diferenciables verifican trivialmente la condición de Hölder y de Dini ya que

Así , f diferenciable => la serie de Fourier de f, converge

Observación 2: Tambien esta función cumple la condición de Hölder aunque no es derivable


Observación 3: existen

tales que su serie de Fourier diverge en casi todo punto

Observación 4: Desde 1968 se sabe que si

la serie de Fourier de f converge en casi todo punto (Resultado para p =2 probado por Carlesson en 1966)

Teorema 1 de convergencia uniforme de las series de Fourier
Si tenemos

Entonces la serie de Fourier converge uniformemente y el ratio de convergencia es


Finalmente veremos un teorema de convergencia uniforme en el marco de los Espacios de Sobolev , este teorema nos provee un espacio de funciones intermédio en el que podemos preescindir de funciones contínuas o diferenciables, pero para poder entenderlo, vemos primero el siguiente lema que nos devuelve los coeficientes de Fourier de las derivadas de una función (obviamente, en caso que sea diferenciable) en función de los Coeficientes de Fourier:

Lema

Teorema 2 de convergencia uniforme de las series de Fourier en términos del espacio de Sobolev

Entonces la Serie de Fourier de f converge Uniformemente con ratio de convergencia


Lo que dice este importante Teorema si lo juntamos con el Lema anterior es que para que la serie de Fourier de una función sea uniformemente convergente solo es necesario que la función tenga solo un poco más de "média derivada".

En resumen, para que tengamos convergencia uniforme de la Serie de Fourier de una función, solo es necesario que






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