E=mc2

Conceptos y Principios Básicos

Es un hecho cierto la conservación del momento lineal, por ejemplo cuando jugamos al billar y nuestra bola golpea a las otras el valor de la suma de los momentos lineales debe conservarse, es decir

    ∑pi = mivi (antes de la colisión) = ∑ pj = mjvj (después de la colisión)

En teoría de la relatividad especial se sustituye la velocidad por la Cuadrivelocidad y el momento lineal por el Cuadrimomento .

Veremos como a partir de estos conceptos (un poco redefinidos en relatividad especial) y unas matemáticas a nivel de estudiante de bachiller puede obtenerse la fórmula más famosa de la ciencia

Teoría en Extensión

Dada una partícula material que se mueve con velocidad constante v = (v1, v2, v3), entonces se cumple que (x, y z) = vt y su línea de universo debe ser

α(τ) = (t(τ), x(τ)) = (t(τ), vt(τ))

Para que se cumpla que α' sea futuro de norma 1 se tiene que

dt/dτ = (1-v2)-1/2. Por tanto

U = γ(1,v1, v2, v3)

P = γm(1,v1, v2, v3)

Con γ = (1-v2)-1/2

Nótese que Cuadrivelocidad y Cuadrimomento casi coinciden en sus 3 últimas coordenadas con sus respectivos análogos de mecánica clásica: velocidad y momento lineal, excepto una pequeña modificación (la multiplicación por γ). De hecho a las 3 últimas coordenadas de P las llamamos 3-momento y lo denotamos por p.

De hecho a la primera coordenada de P se la llama Energía y la denotamos por E, por tanto.

P = (E, p), con E = γm y p = γmv, de nuevo con γ = (1-v2)-1/2

De aquí se deduce que

E = (m2 + ||p||2)1/2

Que en unidades no relativistas es

E = c(m2c2 + ||p||2)1/2

Haciendo v = 0 conduce a

E = mc2

Gráfica de la energía creciendo con la velocidad en unidades relativistas, obsérvese como la energia se hace infinita cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz.
Obsérvese que γ es el mismo γ de la transformación de Lorentz (ahora expresado en unidades relativistas) y que el valor de E aumenta cuando crece la velocidad es decir

E → ∞ cuando ||v|| → 1+

De aquí se deduce que según una partícula material acelera y crece su velocidad hacia la velocidad de la luz, su masa (y por tanto su Energia) tienden a hacerse infinitas, por tanto no es posible acelerar una partícula a la velocidad de la luz. Con un considerable gasto de energía, podríamos acelerar una nave espacial al 90% del la velocidad de la luz, sería un buen tanto, pero no podríamos nunca llegar a cubrir totalmente ese 10% que falta.





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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