Las Ecuaciones de Maxwell

Conceptos y Principios Básicos

La teoria de la relatividad especial fué creada para conciliar dinámica de Newton con las ecuaciones de Maxwell, las cuales, regulan los fenómenos electromagnéticos. En la época de Einstein, ambas teorías (dinámica y electromagnetismo) funcionaban bien por separado, sin embargo como veremos, entraban en conflicto.

A día de hoy, el proyecto más ambicioso de la física es la búsqueda de una teoría que unifique la gravitación con la mecánica cuántica. Para ello, grandes cantidades de dinero son invertidas en la construcción de herramientes que permitan encontrar el llamado Bosón de Hicks (hallado en Julio de 2012, aunque aún persisten algunas dudas), las ondas gravitatórias y la materia y energía oscuras.

Las Ecuaciones de Maxwell son una serie de Ecuaciones en derivadas parciales que, como hemos mencionado, regulan los fenómenos electromagnéticos en el vacío. Dichas ecuaciones, en su forma diferencial son
Ecuaciones Generales de Maxwell

1) \( div\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \)
2) \( div\vec{B} = 0 \)
3) \( rot\vec{B} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \)
4)\( rot\vec{B} = \mu_{0}\vec{j}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)
En ausencia cargas y corrientes

1) \( div\vec{E} = 0 \)
2) \( div\vec{B} = 0 \)
3) \( rot\vec{B} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \)
4) \( rot\vec{B} = \epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \)
Donde E y B son la intensidad de campos eléctrico y magnético respectivamente, j es la densidad de corriente, ρ es la densidad de carga y ε0 (constante dieléctrica o permitividad en el vacío), μ0 (permeabilidad magnética en el vacío) constantes donde, aproximadamente $$ \epsilon_{0}=8,854.10^{-12} m^{-2}.N^{-1}.C^{2}$$ $$ \mu_{0}=1,257.10^{-6} mk.C^{-2}$$
Estas dos constantes guardan relacción con la velocidad de la luz en el vacío, c, exactamente se cumple

$$ c^{2}=\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}$$

Teoría en Extensión

Si tomamos las ecuaciones en ausencia de cargas y corrientes, podemos obtener la ecuación de ondas del siguiente modo: derivamos respecto de t en última de ellas y sustituímos en la segunda, así se obtiene

$$ \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = rot \: rot \vec{E} $$

Usando la relacción
$$\Delta \vec{F} = \triangledown (div\vec{F}) - rot \: rot \vec{F} \Rightarrow rot \: rot \vec{F} = \triangledown (div\vec{F}) -\Delta \vec{F} $$

Así obtenemos
$$ \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = \triangledown (div\vec{E}) -\Delta \vec{E} $$
Aplicando la primera de las ecuaciones (simpre en ausencia de cargas y corrientes) obtenemos finalmente la ecuación de ondas

$$ \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = c^{2} \Delta \vec{E} $$


De lo dicho, si para un observador la velocidad de la luz en el vacío no es c entonces las ecuaciones de maxwell no se podrían cumplir para él.

Supongamos dos observadores inerciales, llamemos A y B. A se desplaza respecto de B alejándose a la mitad de la velocidad de la luz en dirección radial y supongamos que el observador B enciende una linterna dirigida hacia A.
B mide que el rayo de luz se aleja de él a una velocidad c, aproximadamente c= 300.000 km/s.
En buena lógica, A deberia medir que el rayo de luz se desplaza con una velocidad

$$c - \frac{c}{2} = \frac{c}{2} = 150.000 km/s (aprox.) $$

Esto significaría que para el observador A no se cumplirían las ecuaciones de Maxwell, al menos no del modo que hemos visto anteriormente. Sin embargo, el observador A podría decir que el está en reposo y que es B quien se está desplazando en sentido contrario. El movimiento puede ser relativo al sistema de referencia al cual efectuamos las mediciones, pero el hecho de que no se cumplan las ecuaciones de Maxwell para A es una idea absoluta ... ¿Se cumplen o no se cumplen las ecuaciones?

Aún más, si A se moviera hacia B entonces podría medir una velocidad de la luz incluso superior a c, obviamente tampoco se cumplirían las ecuaciones de Maxwell en este caso..

En un intento por explicar esta discrepancia, los científicos del siglo XIX crearon la teoría del "Eter de luz". En una analogía con el sonido en la atmósfera terrestre cuya velocidad aproximada de 340m/s solo tiene sentido respecto al aire en reposo, la teoría del "eter de luz" o "eter luminífero" establecía que la velocidad de la luz en el vacío sólo tendría sentido respecto al eter que llena todo el espacio.

Varios experimentos, sobre todo el de Michelson-Morley en 1887, demostraron que tal sustancia no podria existir. De este modo la mecánica clásica y en particular la cinemática debía ser revisada.

La teoría de la relatividad especial nació para solucionar estas y otras cuestiones, enseñándonos que no hay un observador (inercial) privilegiado y que para todos ellos se cumple que la velocidad de la luz en el vacío es invariantemente igual a aproximadamente 300.000km/s. Veremos las fórmulas en detalle, pero adelantándonos un poco diremos que el tiempo pasa a ser relativo al observador que lo mide. Cuanto más rápido nos movamos en nuestra nave espacial y nos aproximamos a la velocidad de la luz, para un observador desde fuera de la nave, veria como nuestros relojes avanzan mas despacio, es decir el tiempo se dilata y, al mismo tiempo, las coordenadas espaciales sufren una contracción, veria nuestra nave espacial "más corta".





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