Convergencia de las Series de Fourier en las discontinuidades

Conceptos y Principios Básicos

Convergencia de las series de Fourier al valor medio del salto en puntos con discontinuidades de salto.
Esta sección es bien corta, veremos en ella el comportamiento de las Series de Fourier en funciones con discontinuas de salto.
Exactamente, el Teorema de Dirichlet nos asegura que en los puntos donde ocurren las discontinuidades de salto, la Serie de Fourier converge al valor médio del salto.
Veremos también el llamado Fenómeno de Gibbs, el cual nos cual dice que cerca de una discontinuidad de salto, la Serie de Fourier se dispara un 9% del valor del salto.

Teoría en extensión

Teorema de Dirichlet
Sea f una función contínua salvo en un punto

Supongamos que existen

Entonces la Serie de Fourier converge al punto médio del salto, es decir


Veremos ahora el llamado Fenómeno de Gibbs
Teorema (Fenómeno de Gibbs)
Sea f como en el Teorema anterior, entonces la Serie de Fourier de f cerca de

Se dispara con un valor de aproximadamente el 9% del valor del salto de f, es decir





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