Naturaleza de las Series de Fourier

Conceptos y Principios Básicos

Al intentar resolver muchos problemas Físicos y matemáticos aparecen series trigonométricas, llamadas series de Fourier de la forma
     f(x) = A0/2 + ∑ n=1 ( An cos nx + Bn sen nx)      (1)
Con
     Ai, Bi ∈ R
y cumpliendo que

     A0 = 1/π ∫ π f(x) dx.
     An = 1/π ∫ π f(x) cos nx dx.
     Bn = 1/π ∫ π f(x) sen nx dx.

Ahora bien ¿Para que clase funciones se puede hacer el desarrollo de Fourier como (1) ? Los intentos de responder a esta pregunta han hecho progresar varias ramas del análisis matemático y de las matemáticas en general durante los últimos dos siglos.
Ya podemos anticipar que la clase de funciones para las que la serie de Fourier como la dada en (1) tiene sentido es bastante grande, mucho más que para el caso de las series de potencias, en las que una función admite tal desarrollo si tiene derivadas continuas de todos los órdenes. En el caso de las series trigonométricas de Fourier, como veremos una función no precisa ni si quiera ser continua para admitir un desarrollo de Fourier del tipo (1), sin embargo, esto no quiere decir que la serie (1) sea convergente si la función f es continua, sin embargo como veremos, toda función diferenciable admite una serie de Fourier.

Teoría en Extensión

Las series de Fourier aparecen de modo natural en muchos problemas físicos, por ejemplo, al intentar resolver problemas de contorno, o también llamados problemas de Frontera. Por ejemplo, consideremos la ecuación del Calor unidimensional
     a22u/∂x2 = ∂u/∂t
Supongamos una barra de metal de longitud pi=3,1415926... cuyos extremos se mantienen a tempertura constante, digamos 0.
Supongamos además que en un tiempo inicial, t=0, el valor de la temperatura viene dado por la función f(x)
Supongamos también que en el instante inicial no hay cambios en la temperatura
Si ponemos estas condiciones todas juntas, se traducen en

     u(x, 0) = f(x)
     u(x, t) = 0
     u(π, t) = 0
     ∂u/∂t |t=0 = 0
La ecuación del calor a resolver es, como hemos dicho   a22u/∂x2 = ∂u/∂t
Resolvemos esta ecuación por el método de separación de variables, esto es suponer que la solución es de la forma

     u (x, t) = v(x) w(t)

así, la ecuación queda

     v'' w = w' v => v''/v = w'/w = -k

por tanto tenemos dos EDOs separadas

     v'' + kv = 0    (1)
     w' + a2 kv = 0    (2)

Resolvemos primero (1) en función del valor k: los casos k = 0 y k < 0 se reducen a la solución trivial u = 0
Así tomamos el caso k > 0, donde la solución es de la forma
    v(x) = ∑ n=1 ( An cos √k x + Bn sen √k x)
Aplicando las condiciones iniciales, obtenemos

     An = 0, ∀n, k = n2
Entonces la solución de (1) queda

     v(x) = ∑ n=1 Bn sen nx

con

     Bn = 2/π ∫ π0 f(x) sen nx dx.

Si ahora resolvemos (2), obtenemos

     w(t) = exp(-a2n2t)

donde      exp(x) = ex

Así la solución general de la ecuación del calor unidimensional es
     v(x) = ∑ n=1 Bn exp(-a2n2t) sen nx      (3)
Como se ve, en la solución aparecen los coeficientes de Fourier. El saber si (3) tiene sentido depende de que en t = 0 se cumpla que

     f(x) = ∑ n=1 Bn sen nx

Desde un principio, no hemos dado condiciones a la f ni sobre sus derivadas. Quedan muchas preguntas por responder en todo lo que hemos hecho, entre otras: Bajo que condiciones de la f Converge la serie? Uniformemente? En que sentido? y si converge lo hace hacia f?





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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