Fourier Series Calculator es una aplicación pensada para calcular los coeficientes del seno y del coseno de la serie de Fourier(Hasta 10000 elementos) de funciones definidas hasta con 5 trozos. Así como la representación gráfica de la función y su serie en un intervalo genérico. Por ejemplo, funciones como
\( f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x \in [-1,0)\\ x+1 & x \in [0,1] \end{matrix}\right. \)
Producen el resultado
Note que la función debe pertenecer al espacio de funciones integrables o espacio L
1 en el intervalo introducido, tal y como hemos mostrado a través de los teoremas en la secciones de Teoria de Series d eFourier.
FourierSeries Calculator calcula la integral definida o indefinida.
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El grado de precisión de los cálculos depende en gran parte del tamaño del intervalo elegido, de la función a evaluar y del número de coeficientes elegidos.
El modo de usarla es como sigue.
Función integrable en un intervalo, simplemente:
1) Escribir el extremo inferior del intervalo en la caja de texto con la etiqueta Limit inf.
2) Escribir el extremo superior del intervalo en la caja de texto con la etiqueta Limit Sup.
3) Escribir la función en la caja de texto con la Etiqueta Función
En el caso de que la función sea definida a trozos, se escribe
1) Escribir el extremo inferior del intervalo en la caja de texto con la etiqueta Limit inf.
2) Escribir el extremo superior del intervalo en la caja de texto con la etiqueta Limit Sup.
3) Escribir la primera función en la caja de texto con la Etiqueta Función
4) Escribir el extremo superior del primer sub-intervalo en la caja de texto con la etiqueta Subinterval 1. .
5) Escribir la función tal como está definida en primer sub-intervalo en la caja de texto con la etiqueta Subinterval 1.
Por ejemplo supongamos que tenemos la función como hemos definido arriba
\( f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x \in [-1,0)\\ x+1 & x \in [0,1] \end{matrix}\right. \)
Entonces los campos se rellenan así
Después de calcular los coeficientes de Fourier A
n, B
n se puede obtener un gráfico de la Serie de Fourier y la función haciendo click en "Mostrar Gráfico". En este caso quedaría como
Por defecto el problema se abre con la función continua y el intervalo siguientes
Como funciona?
Para los cálculos de los coeficientes de fourier, se aplicacan métodos de integración vistos en la sección de
métodos numéricos con los que podemos aproximar las integrales dadas por las fórmulas de la Serie de Fourier:
$$ f(x)=\frac{A_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(A_n cos nx + B_nsin nx ) $$
Where
\( A_i, B_i \in \mathbb{R} \)
and
\( A_0= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx\)
\( A_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) cos nx dx\)
\( B_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) sin nx dx\)
En el caso de los coeficientes de Fourier, hay varios métodos para efectuar los cálculos, siendo el expuesto aquí creado por los propietarios de
JavaMaths.
Para el cálculo de la derivada de la función se aplicacn métodos de derivación numérica.
Para el cálculo de la primitiva de la función se aplican métodos de integración numérica vistos en la sección de
métodos numéricos.
Note que en el análisis numérico se obtienen errores debidos a los métodos en particular y a la limitación de la aritmética del ordenador. Fourier Series Calculator no está exenta de esta clase de error.
En el caso del cálculo de los coeficientes de Fourier, depende de la función y del tamaño del intervalo de integración elegido. En el caso que se abre por defecto el error cometido al calcular los coeficientes de Fourier es una O(1e-8). Para la integración numérica es de O(1e-11) y en el caso de la derivada es O(1e-14).
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