Observadores Inerciales: Transformaciones de Galileo y Lorentz

Conceptos y Principios Básicos

Dos observadores B y C, se dice que son inerciales si utilizan sistemas de referencia inerciales, lo que quiere decir que entre los sistemas o bien no hay movimiento relativo o bien el moviemiento relativo entre ellos es rectilíneo y uniforme.

Así para convertir coordenadas de uno a otro basta con sumar o restar velocidades, a esto se le llama la transformación de Galileo.

Desde el punto de vista clásico para cambiar coordenadas entre sistemas inerciales, basta con sumar o resstar velocidades relativas.
Por ejemplo, si viajamos en un tren a 50km/h y corremos en sentido contrario a 25km/h, es obvio que un observador situado en el andén fuera del tren medirá que nuestra velocidad neta es

50-25 = 25km/h

Esto funciona muy bien para velocidades bajas, pero si consideramos velocidades próximas a la de la luz, la situación no es tan evidente, como veremos en el siguiente ejemplo sencillo.

Supongamos un cohete que viaja a la velocidad de la luz, y que en el centro del cohete encendemos una bombilla. Imaginemos que tenemos un observador en cada extremo del cohete, para cada uno de ellos la luz llegará a ellos en un tiempo t, igual para cada uno ya que la distancia hasta la bombilla es la misma. Ambos observadores se iluminan, como se muestra en la figura:

La luz en el centro del cohete ilumina a ambos observadores.


En cambio, si consideramos un observador fuera del cohete, desde el punto de vista clásico solo tiene que sumar velocidades, para el observador en la parte trasera del cohete la luz de la bombilla tiene el sentido contrario a la marcha del cohete, así

$$ v = c + c = 2c $$

ya que la velocidad del cohete se suma a la de la luz. En cambio para el observador en la parte delantera del cohete, su velocidad es en el mismo sentido a la luz que sale de la bombilla, por tanto, la velocidad de la luz para él es

$$ v = c - c = 0 $$

así para un observador fuera del cohete, la luz nunca llega al observador situado en la parte delantera y nunca le verá iluminado como muestra la figura.

Desde el punto de vista clásico, para un observador fuera del cohete la luz no podría llegarle al observador en la parte delantera del cohete.


Obsérvese que además del cambio de velocidades para uno y para otro observador, estamos hablando de algo más profundo, pues hay un hecho absoluto para el observador en la parte delantera del cohete ¿Se ilumina o no se ilumina?¿Le llega la luz de la bombilla o no?

Por situaciones como esta la macánica clásica no funciona. Una nueva teoria tenia que ser creada, donde la simultaneidad sea relativa y no exista un concepto absoluto de tiempo o de espacios. Esta es una de la ideas centrales de la Relatividad Especial de la que Einstein y otros se dieron cuenta.

La transformación de Lorentz

Supongamos que dos observadores inerciales A y B usan coordenadas (x, y, x, t) y (x', y', z', t') respectivamente. Supongamos que B se desplaza en dirección del eje x de A a velocidad constante v, o sea, según A v = (v, 0, 0).
El sistema de referencia B se mueve en dirección creciente del eje X del sistema de referencia A.

Ambos sistemas de referencia están relaccionados según la transformación de Galileo
La transformación de Galileo
$$x'=x-vt$$ $$y'=y$$ $$z'=z$$ $$t'=t$$
ya vimos en la sección Ecuaciones de Maxwell que dichas ecuaciones no se podrían cumplir para el observador B, sobre todo cuando consideramos v próxima al valor 300.000 km/s.

La idea de Lorentz fué estudiar las transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de Maxwell, y llegó a la conclusión de que la relación entre ambos sistemas de coordenadas tendría que ser

La transformación de Lorentz
$$x'= \gamma(x -vt)$$ $$y'=y$$ $$z'=z$$ $$t'= \gamma(t -\frac{vx}{c^2})$$
donde
$$\gamma= \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$


Esta es la Transformación de Lorentz , ella es fundamental para entender la Teoría de la Relatividad Especial y como veremos, es de esta transformación de donde se desprenden todas sus revolucionarias consecuencias. Obsérvese que para velocidades a las que estamos acostumbrados el valor γ es prácticamente 1 y la transformación de Lorentz es prácticamente igual a la transformación de Galileo.

Una primera observación importante es que para pasar de un sistema de referencia a otro, hay que transformar también la coordenada temporal. Es decir el tiempo es relativo y depende del sistema de referencia que el observador esté usando.

Veremos finalmente un teorema que explica como se transforman los campos electromagnéticos mediante la transformación de Lorentz, y como se conservan las ecuaciones de Maxwell respecto a observadores inerciales:

Sean dos observadores inerciales A y B que como antes A se desplaza de B con una velocidad

\( \vec{v} = (v, 0, 0) \)

. Supongamos que A usa el sistema de coordenadas (x, y, x, t) y B usa (x', y', z', t').
Supongamos también que ambos sistemas de coordenadas están relaccionados según la transformación de Lorentz que hemos visto anteriormente,

Sean \( \vec{B}, \vec{B'}, \vec{E}, \vec{E'}\) funciones vectoriales relaccionadas mediante

\(E_1'=E_1\)

\(E_2'= \gamma(E_2-vB_3)\)

\(E_3'= \gamma(E_3+vB_2)\)

\(B_1'=B_1\)

\(B_2'= \gamma(B_2+v \frac{E_3}{c^2}) \)

\(B_3'= \gamma(B_3-v \frac{E_2}{c^2}) \)

Entonces si \( \vec{B}, \vec{E}\) cumplen las ecuaciones de Maxwell con el sistema de referencia de A, entonces \( \vec{B'}, \vec{E'}\) satisfacen las ecuaciones de Maxwell con el sistema de referencia usado por B.
De este teorema se desprende que si se usa la transformación de Lorentz como cambio de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales, las ecuaciones de Maxwell se cumplen para ellos.





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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