Tensores y Álgebra Tensorial

Conceptos y Principios Básicos

Cuando en álgebra Lineal queremos manejar varias variables es preciso utilizar la noción de Tensor que generaliza los Vectores, Matrizes y constantes. Veremos en que sentido. Todo espacio vectorial de dimensión finita V es isomorfo a Rn así que en adelante consideraremos que de hecho V≡Rn.
Cualquier aplicación lineal f: Rn → R es de la forma

f(x)=vtx, con v, x∈Rn

Es decir, el espacio dual de Rn es él mismo(son isomorfos trasponiendo vt en v ).

Si B={e1, ...,en} es una base de V entonces B*={e1, ...,en} es una base de su dual V* caracterizada por.

ejei = 0 si j≠i
ejei = 1 si j=i

Este isomorfismo, llamémosle φ entre V y su dual V* permite que podamos considerar cualquier aplicación lineal de la forma.

f: V x ...(n veces)... x V → V

Como

F: V* x V x ...(n veces)... x V → R

Siendo F=φ◊f, es decir, después de aplicar f, aplicamos el elemento del dual para obtener un escalar.

Así podemos considerar funciones multilineales vectoriales como funciones multilineales escalares multiplicando por elementos del dual.

Definición de Tensor


Se llama tensor s veces contravariante y n veces covariante o Tensor de tipo (s,n) a una aplicación multilineales del tipo

T: V* x ...(s veces)... x V* x V x ...(n veces)... x V → R

Si un tensor es de tipo (0,n) diremos simplemente que es n veces covariante

Si un tensor es de tipo (s,0) diremos simplemente que es s veces contravariante
Así los endomorfismos que considerábamos en las secciones Diagonalización de matrizes y Forma Canónica de Jordan
F : V → V
x∈V → F(x) = Ax∈V
según nuestra definición F es un Tensor (1,1).

También un vector es un tensor de tipo (1,0) porque aplica cualquier vector fila (elemento del dual) en una constante.

El producto escalar en V es un tensor de tipo (0,2), ya que aplica dos vectores en una constante.

Finalmente una constante consideramos que es un tensor (0,0).

Teoría en extensión

Sea T un tensor (r,s), por tanto, vamos a considerar ∏ = V* x ...(r veces)... x V* x V x ...(s veces)... x V
T: ∏ → R
u1, ...,ur∈V*, v1, ...,vs ∈V → F(u1, ...,ur,v1, ...,vs)∈ R

Entonces, si B={e1, ...,en} es una base de V y B*={e1,...,en} es una base del dual V*, consideramos la base de ∏ como β=B*∪B, en tonces se definen las coordenadas de T en la base β como

= T(ej1,...,ejr,ei1,...,e1r)

Así, un tensor de tipo (r,s) sobre Rn tiene nr+s componentes

Dadas dos bases en ∏, β y β' existe una 'matriz de cambio de base' para las coordenadas covariantes y contravariantes dadas respectivamente por , Entonces dado un tensor T para cambiar las coordendas de β a β'



Nótese el funcionamiento del convenio de Convenio de sumación de Einstein

Existe un producto tensorial que denotamos por ⊗, que se define como sigue, si T es un tensor (r,s) y S es un tensor (m,n), el producto tensorial es un tensor (r+m,s+n) que consiste en

T⊗S(u1,...,ur, u1, ...,um, v1, ...,vs,v1,...,vn) = T(u1,...,ur,v1,...,vs) .S(u1, ...,um,v1,...,vn)

La notación tensotrial puede complicarse mucho ya que estamos manejando coordenadas covariantes y contravariantes de diferentes dimensiones, por ejemplo el tensor de Riemann es un tensor (1,3) ya que aplica un contravector de R4 (z1,z2,z3,z4) y 3 vectores (u1,u2,u3,u4) (v1,v2,v3,v4) (w1,w2,w3,w4) para denotar la aplicación del tensor en los vectores tendríamos que escribir

    ∑4i=14j=14k=14l=1Rlijk zluivjwk

Con el Convenio de sumación de Einstein esta ecuación queda reducida a

    Rlijk zluivjwk

Es decir, el Convenio de sumación de Einstein consiste en que todo indice duplicado con un subindice indica que se suman, por ejemplo un tensor representado por vijwkl es un tensor de tipo (2,2), sin embargo vikwkl es un tensor de tipo (1,1).

Por tanto podemos considerar que una constante k es un tensor (0,0) porque es la contracción de un tensor (1,0) con un tensor (0,1) (o al contrario):

k=viwi

Tensores en Variedades Diferenciales

En una variedad diferenciable M, se puede definir un campo tensorial o simplemente un tensor de tipo (r,s) como una aplicación que que asigna a cada punto p de la variedad un tensor de tipo (r,s) tal que

T: Tp(M)* x ...(r veces)... x Tp(M)* x Tp(M) x ...(s veces)... x Tp(M) → R

Es decir, tomando el espacio vectorial tangente como espacio vectorial donde opera el tensor.

Cambio de coordenadas tensoriales

Dadas dos cartas C = (φ=(x1,...,xm), U) K = (ψ=(y1,...,ym), V)
Existe una aplicación ψoφ-1 que pasa coordenadas (x1,...,xm) a coordenadas (y1,...,ym) y que su matriz diferencial se escribe en la forma



y su inversa



En cada carta tendremos los campos

junto con

junto con

Respectivamente y la relacción entre ellas es

1)

2)


Un tensor muy importante, en geometría diferencial es el llamado Tensor métrico que denotaremos por G=gij

Dado un elemento v=vi de V, entonces v es un tensor (1,0) se puede aplicar el tensor métrico así

wj=gijvi

Obteniéndose w un tensor (0,1), es decir, un elemento del espacio dual. A las coordenadas vi se les llama coordenadas contravariantes de v y a las wj se les llama coordenadas covariantes.

Finalmente, a este proceso de igualar indices con superíndices y sumar en ellos (de nuevo el convenio de sumación de Einstein) se le llama contracción.

Variedades Riemannianas

Se llama una variedad Riemanniana a una variedad Diferenciable junto con un tensor métrico actuando sobre ella cuya matrix de coeficientes es definida positiva.

Cuando la matriz de coeficientes del tensor métrico es semidefinida positivo se dice que la variedad es Semirimanniana.






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