Cuadrivelocidad y cuadrimomento

Una línea de universo es una curva α = α(τ) tal que el vector tangente α'(τ) es un vector futuro temporal de norma (de Minkowski) 1. Y al parámetro τ lo llamaremos tiempo propio.
Una partícula material es una línea de universo, α junto con un número postivo m llamado masa.

Observese que si la partícula material no está en movimiento relativo, su línea de universo es

α(τ) = (t(τ), x(τ), y(τ), z(τ)), entonces

||α'(τ)|| = 1

Por ser α' temporal, se tiene

-1 = -(dt/dτ)2 + (dx/dτ)2 + (dy/dτ)2 + (dz/dτ)2, por tanto

2 = dt2 - dx2 - dy2 - dz2

De este modo, si no hay cambios infinitesimales en el espacio y α' es futuro, se tiene dτ = dt

En mecánica no relativista, tenemos la velocidad y el momento lineal, en relatividad se definen sus análogos:

Cuadrivelocidad es el vector U = α'.

Cuadrimomento es el vector P = mU = mα'.

Si una partícula viaja a velocidad constante v = (v1, v2, v3) se cumple que (x, y, z) = vt. Entonces la línea de universo de tal partícula debe ser

α(τ) = (t(τ), vt(τ)) Entonces, de nuevo

||α'(τ)|| = 1 => -1 = -(dt/dτ)2 + (dx/dτ)2 + (dy/dτ)2 + (dy/dτ)2

Y así obtenemos

dt/dτ = (1-v2)-1/2