La regla de la cadena: Derivadas dentro del signo integral

Principios y Conceptos básicos

Una composición de dos funciones es la operación dada por aplicar una función y después la otra se denota por fog(x), es decir:

fog(x)= f(g(x))

Por ejemplo, dadas

f(x)=x2
g(x)= sin x

Entonces

fog(x) = f(g(x)) = f(sin x) = (sin x)2

La regla de la cadena es la fórmula que define la derivada de una composición de dos funciones y está dada por



Esta es una regla básica del análisis, pues permite sacar la fórmula de la función inversa, derivadas dentro del signo integral y muchas otras.

Teoría en extensión

Fórmula de la función inversa

Dada una función derivable f(x), nos preguntamos por la derivada de la inversa. Como quiera que

f(f-1(x)) = Id = x

Entonces, podemos aplicar la regla de la cadena para obtener

(f(f-1(x)))' = f'(f-1(x)) (f-1)'(x) = 1

Entonces si f'(x) ≠ 0 , se tiene

(f-1)'(x) = [ f'(f-1(x)) ] -1

El hecho de que f'(x) ≠ 0 implica que f es inyectiva, ya que por el teorema del valor medio

f(x)-f(y) = 0 => ∃ z : f'(z) = f(y)-f(x)/(y-x) = 0, Lo cual es una contradicción.

Teorema de la función inversa


Dada una función derivable f, tal que f'(x0) ≠ 0 entonces existe un entorno centrado en x0 que denotamos por V(x0), tal que

(f-1)'(x) = [ f'(f-1(x)) ] -1 ∀ x ∈ V(x0).

Derivadas bajo el signo integral


Muchas funciones del análisis están definidas bajo un signo integral, por ejemplo la función



Podemos considerarla como la composición

Donde



y


Podemos aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de f, es decir

Ejemplos de Derivadas bajo el signo integral


1)

Entonces como en nuestro ejemplo mas arriba tomamos





Así



2)

Notar que podemos dividir esta integral como suma de otras dos



Calculamos la primera de ellas

Donde



Así



Calculamos ahora la segunda de las integrales, de nuevo

Donde

    

Así



Ya tenemos el resultado como






Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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