La regla de la cadena: Derivadas dentro del signo integral

Principios y Conceptos básicos

Una composición de dos funciones es la operación dada por aplicar una función y después la otra se denota por fog(x), es decir:

\( f\circ g(x) = f(g(x)) \)

Por ejemplo, dadas

\( \begin{matrix} f(x)=x^2 \\ g(x)=sin x \end{matrix} \)

Entonces

\( f\circ g(x) = f(g(x)) = f(sin(x)) = (sin x)^2 \)

La regla de la cadena es la fórmula que define la derivada de una composición de dos funciones y está dada por

\( (f\circ {g})'(x)=lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f\circ {g}(x + h) - f\circ {g}(x)}{h}} = f'(g(x)) g'(x) \)

Esta es una regla básica del análisis, pues entre otras cosas, permite obtener la fórmula de la función inversa, derivadas dentro del signo integral y muchas otras.

Teoría en extensión

Fórmula de la función inversa

Dada una función derivable f(x), nos preguntamos por la derivada de la inversa. Como quiera que

\( f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x)) = Id = x \)

Entonces, podemos aplicar la regla de la cadena que hemos visto antes para obtener

\( f(f^{-1}(x))' = f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x) = 1 \)

Entonces si f'(x) ≠ 0 , se tiene

\( (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)

El hecho de que f'(x) ≠ 0 implica que f es inyectiva, ya que por el teorema del valor medio

Si existieran x, y distintos y tales que \( f(x) = f(y) \) entonces se tendria que

\( f(x)-f(y) = 0 \Rightarrow \exists z : f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} =0 \)

Lo cual es una contradicción.

Teorema de la función inversa


Dada una función derivable f, tal que f'(x0) ≠ 0 entonces existe un entorno (o sea un abierto conexo) centrado en x0 que denotamos por \( \mathbb{V}(x_{0}) \), tal que
$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\, \ \forall x \in \mathbb{V}(x_{0}) $$

Derivadas bajo el signo integral


Muchas funciones del análisis están definidas bajo un signo integral, por ejemplo la función

\( f(x)=\int_{a}^{x^2} \frac{1}{1+cos 3t} dt \)

Podemos considerarla como la composición de dos funciones h y g donde

\( h(x)= \int_{a}^{x}\frac{1}{1+cos3t} dt \)

\( g(x) = x^{2} \)

Podemos aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de f, es decir

\( f'(x) = (h \circ {g})'(x)= h'(g(x)) g'(x)= h'(x^{2}) 2x=\frac{2x}{1 + cos3x^{2}} \)

Ejemplo 1 de Derivadas bajo el signo integral

\( f(x)=\int_{a}^{x^{2}}\sin^{3}t dt \)

Entonces como en nuestro ejemplo mas arriba tomamos

\( h(x)=\int_{a}^{x}\sin^{3}t dt \)

\( g(x)=x^{2}\)

Así

\( f'(x)=(h\circ {g})'(x)= h'(g(x)) g'(x)=h'(x^{2}) 2x \)

\( f'(x)=2x sin^{3}(x^{2}) \)

Ejemplo 2 de Derivadas bajo el signo integral

\( f(x)=\int_{x^2}^{x^{3}}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt \)

Notar que podemos dividir esta integral como suma de otras dos

\( \int_{x^2}^{x^{3}}\frac{2}{1+ \cos^{3}t} dt = \int_{-\infty}^{x^{3}}\frac{2}{1+ \cos^{3}t} dt - \int_{-\infty}^{x^{2}}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt = (1) - (2) \)

Calculamos la primera de las integrales

\( h(x)=(F\circ {G})(x) \) Donde

\( F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt\)
\( G(x)=x^{3}\)

Así, operando

\((1) = \frac{6x^{2}}{1+\cos^{3}(x^{3})} \)

Calculamos ahora la segunda de las integrales, de nuevo

\( h(x)=(F\circ {G})(x) \) Donde

\( F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt \)
\( G(x)=x^{2}\)

Así

\( (2) = \frac{4x}{1+\cos^{3}(x^{2})} \)

Ya tenemos el resultado como

\(f'(x) = (1)-(2) = \frac{6x^{2}}{1+\cos^{3}(x^{3})}-\frac{4x}{1+\cos^{3}(x^{2})} \)





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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