Funciones Diferenciables


Sea

Se dice que f es diferenciable en

si existe un vector

tal que

donde

La definición de diferenciabilidad hace referencia a que existe un espacio tangente el cual es una "buena aproximación" a la función (para los entendidos en análisis numérico, diremos que exactamente la aproximación es de orden 1).
La existencia de las derivadas parciales no garantiza la diferenciabilidad, pero una condición necesaria para la diferenciabilidad en un punto es que existan las derivadas parciales de f y sean contínuas en dicho punto.
Sin embargo, el recíproco sí es cierto: si una función es diferenciable, entonces existen todas sus derivadas parciales y son contínuas en ese punto.
La diferenciabilidad en un punto se puede entender como que la función es "suave" en ese punto, en el sentido que no tiene aristas, vértices o bordes en ese punto.