Método del Lagrangiano para el cálculo de los símbolos de Christoffel y las Geodésicas

Conceptos y Principios Básicos

El cálculo del los Símbolos de Christoffel puede ser bastante complicado, por ejemplo para dimensión 2 que es el número de símbolos que tiene una superfice, hay 2 x 2 x 2 = 8 símbolos y empleando la simetría serían 6.

Para dimensión 4 el número de símbolos es 64 y empleando la simetría se reducen a 40. Ciertamente son muchos cálculos para y esto es solo para encontrar las ecuaciones de las geodésicas.

Veremos en esta sección el método del Lagrangiano que nos permite obtener rapidamente las ecuaciones de las geodésicas y de ahí obtener los símbolos de Chistoffel.

Las ideas son la base del Cálculo de Variaciones llamado principio de mínima acción de Euler-Lagrange

Principio de mínima acción de Euler-Lagrange

Sea y sea C el conjunto de funciones tales que y(a)=c, e y(b)=d Si



alcanza su mínimo en alguna entonces, es solución de la ecuación diferencial

Teoría en extensión

Antes de nada, una cuestion de notación a partir de ahora usaremos el caracter punto "." para la derivada, esta es una notación usada en fisica, por ejemplo para denotar usaremos .

El método del Lagrangiano se basa en el siguiente teorema:
Sea M una variedad m-dimensional y sean gij las componentes del tensor métrico. Entonces dada una geodésica en M



Sea L el Lagrangiano asociado a la métrica



Entonces se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange

Ejemplo

Sea la metrica inducida por la usual en una esfera S2 (Fig 1.), es decir



Fig. 1 La esfera S2


Escribimos el Lagrangiano asociado a esta métrica, es decir



Entonces hacemos los cálculos

,

,

Y esto nos permite ya escribir las ecuaciones de las geodésicas, obtenemos



Recordando que la ecuacion de las geodesicas es



Obtenemos tambien los simbolos de Chistoffel, son los



El resto de los símbolos de Christoffel son cero.






Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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