Observadores Inerciales: Transformaciones de Galileo y Lorentz

Conceptos y Principios Básicos

Dos observadores B y C, se dice que son inerciales si utilizan sistemas de referencia inerciales, lo que quiere decir que entre los sistemas o bien no hay movimiento relativo o bien el moviemiento relativo entre ellos es rectilíneo y uniforme.

Por ejemplo si los observadores B y C están en puntos diferentes de nuestra Tierra, digamos B situado en Madrid y C situado en algún punto de Brasil y viajando en avión hacia A con una velocidad de 900km/h siguendo la trayectoria mas corta. Pueden considerarse observadores inerciales? La respuesta a esta pregunta es que depende del fenómeno que estemos considerando. A efectos de medir el desplazamiento de un cometa orbitando en torno al Sol, la situación diferente de uno y otro no influye en sus mediciones y ambos medirán la misma velocidad, el mismo periodo de traslación en torno al sol, etc ... En este caso ambos son observadores inerciales.

En cambio la situación es diferente si consideramos un satélite orbitando en torno a la tierra en su mismo sentido y con el mismo periodo de orbital que el día terrestre: 24 Horas. En esta situación, desde el punto de vista de B dirá, desde su punto de vista que el satélite está en reposo en el el cielo y que no presenta ningún movimiento.

Desde el punto de vista de C, ve que el satélite se desplaza levemente hacia el oeste.

En cambio, si consideramos D un observador situado en la superficie de la luna, él dirá que el satélite presenta un movimiento de traslación en torno a la tierra que dura 24 horas y que tanto B como C se están moviendo con él siguiendo, eso sí, unas trayectorias diferentes.

Cual de los observadores está en lo cierto? La respuesta es que todos, cada uno está usando un sistema de referencia diferente: B usa un sistema de referencia centrado en su punto en España, C usa un sistema de referencia en movimiento rectilíneo uniforme respecto a B y D usa un sistema de referencia con origen en su situación en la superficie de la luna según el cual los observadores B y C presentan movimientos acelerados.

La conclusión a este ejemplo es que las leyes de la física pueden cambiar si considereamos sistemas de referencia no inerciales y no cambian, siempre que esos observadores utilizen sistemas de referencia en reposo relativo o en moviemiento relativo rectilíneo uniforme.

En mecánica clásica newtoniana se considera la existencia de un tiempo absoluto y de un sistema de referencia absoluto que todos los observadores podrían llegar a utilizar. Una de las consecuencias más revolucionarias de la Teoría especial de la relatividad es que el tiempo no es absoluto, depende del sistema de referencia en el que es medido.

Teoría en Extensión

Supongamos que dos observadores inerciales A y B usan coordenadas (x, y, x, t) y (x', y', z', t') respectivamente. Supongamos que B se desplaza en dirección del eje x de A a velocidad constante v, o sea, según A v = (v, 0, 0).
El sistema de referencia B se mueve en dirección creciente del eje X del sistema de referencia A.

Ambos sistemas de referencia están relaccionados según la transformación de Galileo
La transformación de Galileo
$$x'=x-vt$$ $$y'=y$$ $$z'=z$$ $$t'=t$$
ya vimos en la sección Ecuaciones de Maxwell que dichas ecuaciones no se podrían cumplir para el observador B, sobre todo cuando consideramos v próxima al valor 300.000 km/s.

La idea de Lorentz fué estudiar las transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de Maxwell, y llegó a la conclusión de que la relacción entre ambos sistemas de coordenadas tendría que ser
La transformación de Lorentz
$$x'= \gamma(x -vt)$$ $$y'=y$$ $$z'=z$$ $$t'= \gamma(t -\frac{vx}{c^2})$$
donde
$$\gamma= \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$


Esta es la Transformación de Lorentz , ella es fundamental para entender la Teoría de la Relatividad especial y como veremos, es de esta transformación de donde se desprenden todas sus revolucionarias consecuencias. Obsérvese que para velocidades a las que estamos acostumbrados el valor γ es prácticamente 1 y la transformación de Lorentz es prácticamente igual a la transformación de Galileo.

Una primera observación importante es que para pasar de un sistema de referencia a otro, hay que transformar también la coordenada temporal. Es decir el tiempo es relativo y depende del sistema de referencia que el observador esté usando.
Veremos finalmente un teorema que explica como se transforman los campos electromagnéticos mediante la transformación de Lorentz, y como se conservan las ecuaciones de Maxwell respecto a observadores inerciales:

Sean dos observadores inerciales A y B que como antes A se desplaza de B con una velocidad v=(v, 0, 0). Supongamos que A usa el sistema de coordenadas (x, y, x, t) y B usa (x', y', z', t').
Supongamos también que ambos sistemas de coordenadas están relaccionados según la transformación de Lorentz que hemos visto anteriormente, entonces.
Sean E, E', B, B' funciones vectoriales relaccionadas mediante
E'1 = E1
E'2 = γ(E2 - vB3)
E'3 = γ(E3 + vB2)
B'1 = B1
B'2 = γ(B2 + vE3/c2)
B'3 = γ(B3 - vE2/c2)

Entonces si E y B cumplen las ecuaciones de Maxwell con el sistema de referencia de A, entonces E' y B' satisfacen las ecuaciones de Maxwell con el sistema de referencia usado por B.
De este teorema se desprende que si se usa la transformación de Lorentz como cambio de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales, las ecuaciones de Maxwell se cumplen para ellos.





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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