Variedad Diferenciable

Conceptos y Principios Básicos

El concepto de variedad diferenciable extiende al de las superficies regulares y curvas en Rn. Intuitivamente una variedad diferenciable puede considerarse como un objeto geométrico construído a partir de "trozos de Rn pegados de forma diferenciable". Donde por trozos queremos decir abiertos en la topología inducida por la usual, lo veremos en detalle.

Imaginemos el péndulo simple.

para dar la posición del péndulo es en un instante es como dar un ángulo con la vertical θ, así pues, θ será un número en el intervalo [0,2π]. Esto es, una posición en la circunferencia que se suele denotar por S1 y cuya forma es.
circunferencia

consideremos ahora el péndulo doble

Ahora para dar la posición del péndulo en un instante dado necesitaremos dos números θ y Ψ en el intervalo [0,2π]. Ahora el objeto que necesitamos es por tanto el producto cartesiano de S1xS1 cuyo objeto es una superficie que se llama Toro S1 cuya superficie es.
toro geometrico
Si vamos subiendo el número de dimensiones, por ejemplo si consideramos el péndulo triple, necesitamos tres números en [0,2π], el objeto es ahora S1xS1xS1 el cual ya no podremos dibujar por que necesitamos 4 dimensiones (o dicho de otro modo, el mínimo n para el que exista una inmersión de este objeto en Rn es n=4), sin embargo sabemos que, localmente, el objeto contendrá un pedazo de R3 pues para representar un movimiento infinitesimal de los 3 péndulos, el objeto que necesitaremos es parecido al procucto cartesiano de 3 intervalos, o sea un cubo infinitesimal en R3.

Teoría en extensión

Definición de Carta y parametrización


Dado un espacio topológico M con la topología T, una carta es un par (U, φ) tal que U∈T y φ es un Homeomorfismo

φ: U⊂M → V⊂Rn siendo V=W∩φ(U)

con W un abierto de Rn. Es decir φ(U) es un abierto en la topología heredada de la imagen de φ en Rn.
A las inversas de las cartas ρ se les llama parametrizaciones

ρ : φ-1(U)⊂Rn → U⊂M

Carta en una variedad Parametrizacion de una variedad
Carta en una variedad diferenciableParametrización en una variedad diferenciable

Definición de Atlas Maximal


Un atlas Maximal C sobre M es una colección de cartas (Uα, φα) tal que

1) M⊂ ∪α Uα, es decir los Uα recubren M.

2) Sea W = φα(Uα) ∩ φβ (Uβ) con W≠ ∅, entonces las aplicaciones
    φαºφβ-1 : φβ(Uβ ) → φα(Uα)
    φβºφα-1 : φα(Uα) → φβ(Uβ)
son aplicaciones C.

3) El atlas es maximal quiere decir que el atlas no está contenido en otro atlas, es decir, contiene a todas las posibles cartas.
Ya tenemos todos los ingredientes para la definición de variedad diferenciable, simplemente juntamos estos trozos de Rn.

Definición de Variedad diferenciable y el espacio tangente


Una variedad C diferenciable es un espacio topológico Hausdorff dotado de un atlas maximal C. En una curva en Rn se define el espacio tangente como el generado por el vector tangente a la curva. En una superficie regular en Rn se define el espacio tangente como aquel generado por dos vectores tangentes linealmente independientes.

En una variedad Diferenciable en general no hay espacio ambiente, por lo tanto el concepto de espacio tangente se define de un modo un poco diferente. Lo que se hace es tomar como vectores tangentes el operador derivada direccional en cada entorno parametrización definido por la dirección correspondiente a cada coordentada, exactamente. Sea x un punto de la variedad diferenciable M, sea un entorno coordenado conteniendo a x y sea f una funcion de la variedad en Rn, Entonces se define un vector tangente en x y en la dirección i como



Así consideramos la base de vectores {, ,..., } las cuales generan un espacio vectorial en cada punto p de M que llamamos espacio tangente de M en p y denotamos porTp(M). Por tanto

Tp(M) = SPAN({, ,..., })

Al mismo tiempo, se define el dual de Tp(M) que se llama espacio cotangente en p y que denotamos como Tp(M) * que es generado por la base de covectores.

Tp(M)* = SPAN({dx1,..., dxn})

(también llamados 1-formas.





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