La serie geométrica

La serie geométrica es muy importante en análisis se define como

\( \sum _{n=0}^{\infty}(z)^n \)

Empezamos por calcular la suma es algo sencillo si observamos que

\( S_{n} = \sum _{n=0}^{\infty}(z)^n = 1 + z + z^2 + ... + z^n \Rightarrow zS_{n}= z + z^2 + ... + z^{n+1} \)

Esto implica que

\( S_{n}(1-z) = 1 + z + z^2 + ... + z^n - (z + z^2 + ... + z^{n+1}) = 1 + z^{n+1}\)

Así tenemos que

\(S_{n} = \frac{1 + z^{n+1}}{1-z}\)

Ahora es facil ver, tomando límite cuando \( n\mapsto \infty \)

\( \sum _{n=0}^{\infty}(z)^n = \frac{1}{1-z}\)

Radio de convergencia de la serie geométrica

Aplicamos el criterio del cociente para calcular

\( \lim_{n\to \infty} |\frac{S_{n+1}}{Z_{n}}| = \lim_{n\to \infty} |\frac{x^{n+1}}{z{n}}| = |z| \)

Por tanto, la serie geométrica converge si |z| < 1 y diverge si |z| > 1