AutoVectores y Autovalores

Dada una matriz cuadrada, A nxn en el cuerpo K (reales, complejos ... en fín un cuerpo donde se descompone el polinómio característico ...).

\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{2n} \\ ... & & ... \\ a_{n1} & a_{21}... & a_{nn} \end{pmatrix} \)

Tal matriz se puede asociar a una aplicación lineal de un espacio vectorial, V en si mismo se llama a esta aplicación Endomorfismo
En muchos casos, es posible encontrar una base de vectores de V en la que la matriz A tiene forma de matriz diagonal que llamaremos D y para hacer el cambio de base se opera como sigue

\( A=PDP^{-1} \)

Esto es interesante pues, a parte del conocimiento geométrico y de las consecuencias de conocer autovectores y autovalores para un número ilimitado de aplicaciones, la matriz diagonal, D resulta mucho más sencilla y facil de operar, por ejemplo

\( A^{5}=PD^{5}P^{-1} \)

No todas las matrices cuadradas son diagonalizables (esto es, no para todas las matrices es posible encontrar una base de vectores para los la matriz A tenga forma diagonal).
Sin embargo sí es posible obtener un cambio de base en el que la matriz A adopta una forma más sencilla y más facil de operar que llamaremos forma de Jordan.
Tanto para pasar una matriz a su forma de Jordan como para pasarla a su forma diagonal nos interesa el cálculo de los autovalores y los autovectores.

Consideremos la aplicación Lineal (también llamada endomorfismo) dada por

\( \begin{matrix} F:V\rightarrow V & \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in V \rightarrow F(x) = Ax\in V \end{matrix} \)

Nos interesan los subespacios que quedan invariantes mediante esta aplicación a los cuales llamaremos autoespacios o espacios propios, es decir los subespacios generados por aquellos vectores v tales que

\( Av = \lambda v \Leftrightarrow (A - \lambda I)v = 0 \)

Así el espacio propio es el núcleo de la aplicación \( (A - \lambda I)\)

Esta ecuación es en realidad un sistema lineal de ecuaciones que tendrá solucion si y solo sí el determinante de la matriz de coeficientes es cero, esto es

\( det (A - \lambda I) \neq 0 \)

Al resolver este determinante aparece un polinómio en la variable λ llamado polinómio característico de la aplicación A ó simplemente polinómio característico cuyas raices estarán en el cuerpo K las denotamos como

     λj

Los λjy reciben el nombre de valores propios o autovalores de la matriz A.

A la multiplicidad de cada autovalor como raíz del polinomio característico se llama multiplicidad algebraica del autovalor λj.

A cada autovalor o valor propio le corresponden unos autovectores vi cuyo espacio generado es el espacio propio o autoespacio asociado al autovalor λj y que llamaremos E(λj), es decir

\( E(\lambda_{j}) = E_{j} {x \in V : Ax= \lambda_{j}v} \)

A la dimensión del autoespacio \( E_{j} \) se llama multiplicidad geométrica del autovalor λj.

Por tanto, el cálculo de los autovalores de una matriz A es tan facil (o tan dificil) como calcular las raíces de un polinomio, veremos un ejemplo sencillo.

Sea la matriz

\(A =\begin{pmatrix} 1 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)

Entonces calculamos su polinomio característico

\( det (A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -4\\ -1 & 1- \lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 -4 = (\lambda-3)(\lambda+1) \)

Por tanto los autovalores son

\( \lambda_{1}=3, \lambda_{2}=-1 \)

Y los autovectores se calculan para cada autovalor. Empezando por el primero, calculamos el autovector correspondiente al autovalor \( \lambda_{1} = 3 \) . Al desarrollar aparece un sistema como el que sigue

\( \left.\begin{matrix} -2x-4y=0 \\ -x-2y=0 \end{matrix}\right\} \)

Cuya solución es el espacio formado por el autovector

\( v_{1}=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix} \)

Y ahora el autovector correspondiente al autovalor \( \lambda_{2} = -1 \)
2x-4y=0, cuya solución es el autovector


\( v_{2}=\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} \)

Así, existe una base, la generada por los autovectores \( \begin{Bmatrix}{v_1, v_2}\end{Bmatrix}\), en la que la matriz A se expresa como una matriz diagonal.
La matriz del cambio de base es la compuesta por los autovectores en sus columnas:

\( P=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1& 1 \end{pmatrix} \)

La matriz diagonal queda

\( P=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Ya tenemos todos los ingredientes para formar nuestra ecuación de cambio de base:

\( A=PDP^{-1} \)

En este sencillo ejemplo, los autovalores del polinómio característico son distintos y el subespacio correspondiente a cada uno de ellos tiene dimensión 1. Por este motivo la matriz es diagonalizable.

Veremos los detalles en la próxima sección de ílgebra Lineal pero podemos adelantar que si el polinómio característico hubiera tenido una sola raiz doble (con multiplicidad dos) es decir, tenemos un único autovalor, entonces la situación podría haber sido muy distinta y habría habido dos posibilidades:

    1) El autoespacio correspondiente al autovalor tiene dimensión 2: En este caso la matriz seria diagonalizable con el valor del autovector repetido en la diagonal.
    2) El autoespacio correspondiente al autovalor tiene dimensión 1: En este caso la matriz ya no seria diagonalizable, estaria formada por una diagonal con el autovector repetido y un 1, sobre:

Un ejemplo más completo aqui

Y otro aquí