E=mc2

Conceptos y Principios Básicos

Es un hecho cierto la conservación del momento lineal, por ejemplo cuando jugamos al billar y nuestra bola golpea a las otras el valor de la suma de los momentos lineales debe conservarse, es decir, si llamamos respectivamente \( \vec{p}, ;\ \vec{p'}\) a los momentos lineales antes y después de la colisión de la bola se tiene que

\( \sum_{i}\vec{p} = \sum_{i}\vec{p}' \; \Leftrightarrow \; \sum_{i}m_i\vec{v_i} = \sum_{i}m_i\vec{v_i}' \)

En teoría de la relatividad especial se sustituye la velocidad por la Cuadrivelocidad y el momento lineal por el Cuadrimomento .

Veremos como a partir de estos conceptos (un poco redefinidos en relatividad especial) y unas matemáticas a nivel de estudiante de bachiller puede obtenerse la fórmula más famosa de la ciencia

Teoría en Extensión

Dada una partícula material que se mueve con velocidad constante v = (v1, v2, v3), entonces se cumple que

\( (x, y, z) = \vec{v} t \) y su línea de universo debe ser

\( \alpha(\tau)=(t(\tau), \vec{x}(\tau))= (t(\tau), \vec{v}t(\tau)) \)

Para que se cumpla que α' sea futuro de norma 1 se tiene que

\( \displaystyle {\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\gamma} \). Por tanto, la cuadrivelocidad

\( \vec{V}=\gamma(1,v_1,v_2,v_3) \) y el cuadrimomento

\( \vec{P} = m \vec{V}= m\gamma(1,v_1,v_2,v_3) \)

Donde, como hemos dicho

\( \displaystyle {\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}} \)

Nótese que Cuadrivelocidad y Cuadrimomento casi coinciden en sus 3 últimas coordenadas con sus respectivos análogos de mecánica clásica: velocidad y momento lineal, excepto una pequeña modificación (la multiplicación por γ). De hecho a las 3 últimas coordenadas de \( \vec{P} \) las llamamos 3-momento y lo denotamos por \( \vec{p} \).

De hecho a la primera coordenada de \( \vec{P} \) se la llama Energía y la denotamos por E, por tanto.

\( \vec{P} = (E, \vec{p} \), con \(E=\gamma m \) y \( \vec{p}=\gamma \vec{v} \)

De aquí se deduce que

\( E= (m^2+||\vec{p}||^2)^{\frac{1}{2}} \)

Que en unidades no relativistas es

\( E= c(m^2 c^2 + ||\vec{p}||^2)^{\frac{1}{2}} \)

Haciendo \( \vec{v} = 0 \) conduce a la famosísima fórmula

\( E= m c^2 \)

Gráfica de la energía creciendo con la velocidad en unidades relativistas donde c=1, obsérvese como la energia se hace infinita cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz.
Obsérvese que γ es el mismo γ de la transformación de Lorentz (ahora expresado en unidades relativistas) y que el valor de E aumenta cuando crece la velocidad es decir

E → ∞ cuando ||v|| → 1+

De aquí se deduce que cuando una partícula material acelera e incrementa su velocidad hacia la velocidad de la luz, su masa y por tanto, su Energia tienden a hacerse infinitas, por tanto no es posible acelerar una partícula, por pequeña que esta sea a la velocidad de la luz. Con un considerable gasto de energía podríamos acelerar una nave espacial al 90% del la velocidad de la luz, sería una buena aproximación, pero no podríamos nunca llegar a cubrir totalmente ese 10% que falta.





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