Es un hecho cierto la conservación del momento lineal, por ejemplo cuando jugamos al billar y nuestra bola golpea a las otras el valor de la suma de los momentos lineales debe conservarse, es decir, si llamamos respectivamente \( \vec{p}, ;\ \vec{p'}\) a los momentos lineales antes y después de la colisión de la bola se tiene que
\( \sum_{i}\vec{p} = \sum_{i}\vec{p}' \; \Leftrightarrow \; \sum_{i}m_i\vec{v_i} = \sum_{i}m_i\vec{v_i}' \)
En teoría de la relatividad especial se sustituye la velocidad por la
Cuadrivelocidad y el momento lineal
por el Cuadrimomento .
Veremos como a partir de estos conceptos (un poco redefinidos en relatividad especial) y unas matemáticas a nivel de estudiante de bachiller puede obtenerse la fórmula más famosa de la ciencia
E=mc2
Conceptos y Principios Básicos
Teoría en Extensión
Dada una partícula material que se mueve con velocidad constante v = (v1, v2, v3), entonces se cumple que
\( (x, y, z) = \vec{v} t \) y su línea de universo debe ser
\( \alpha(\tau)=(t(\tau), \vec{x}(\tau))= (t(\tau), \vec{v}t(\tau)) \)
Para que se cumpla que α' sea futuro de norma 1 se tiene que
\( \displaystyle {\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\gamma} \). Por tanto, la cuadrivelocidad
\( \vec{V}=\gamma(1,v_1,v_2,v_3) \) y el cuadrimomento
\( \vec{P} = m \vec{V}= m\gamma(1,v_1,v_2,v_3) \)
Donde, como hemos dicho
\( \displaystyle {\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}} \)
Nótese que Cuadrivelocidad y Cuadrimomento casi coinciden en sus 3 últimas coordenadas con sus respectivos análogos de mecánica clásica: velocidad y momento lineal, excepto una pequeña modificación (la multiplicación por γ). De hecho a las 3 últimas coordenadas de \( \vec{P} \) las llamamos 3-momento y lo denotamos por \( \vec{p} \).
De hecho a la primera coordenada de \( \vec{P} \) se la llama Energía y la denotamos por E, por tanto.
\( \vec{P} = (E, \vec{p} \), con \(E=\gamma m \) y \( \vec{p}=\gamma \vec{v} \)
De aquí se deduce que
\( E= (m^2+||\vec{p}||^2)^{\frac{1}{2}} \)
Que en unidades no relativistas es
\( E= c(m^2 c^2 + ||\vec{p}||^2)^{\frac{1}{2}} \)
Haciendo \( \vec{v} = 0 \) conduce a la famosísima fórmula
\( E= m c^2 \)
\( (x, y, z) = \vec{v} t \) y su línea de universo debe ser
\( \alpha(\tau)=(t(\tau), \vec{x}(\tau))= (t(\tau), \vec{v}t(\tau)) \)
Para que se cumpla que α' sea futuro de norma 1 se tiene que
\( \displaystyle {\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\gamma} \). Por tanto, la cuadrivelocidad
\( \vec{V}=\gamma(1,v_1,v_2,v_3) \) y el cuadrimomento
\( \vec{P} = m \vec{V}= m\gamma(1,v_1,v_2,v_3) \)
Donde, como hemos dicho
\( \displaystyle {\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}} \)
Nótese que Cuadrivelocidad y Cuadrimomento casi coinciden en sus 3 últimas coordenadas con sus respectivos análogos de mecánica clásica: velocidad y momento lineal, excepto una pequeña modificación (la multiplicación por γ). De hecho a las 3 últimas coordenadas de \( \vec{P} \) las llamamos 3-momento y lo denotamos por \( \vec{p} \).
De hecho a la primera coordenada de \( \vec{P} \) se la llama Energía y la denotamos por E, por tanto.
\( \vec{P} = (E, \vec{p} \), con \(E=\gamma m \) y \( \vec{p}=\gamma \vec{v} \)
De aquí se deduce que
\( E= (m^2+||\vec{p}||^2)^{\frac{1}{2}} \)
Que en unidades no relativistas es
\( E= c(m^2 c^2 + ||\vec{p}||^2)^{\frac{1}{2}} \)
Haciendo \( \vec{v} = 0 \) conduce a la famosísima fórmula
\( E= m c^2 \)
|
| Gráfica de la energía creciendo con la velocidad en unidades relativistas donde c=1, obsérvese como la energia se hace infinita cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz. |
Obsérvese que γ es el mismo γ de la transformación de Lorentz (ahora expresado en unidades relativistas) y que el valor de E aumenta cuando crece la velocidad es decir
E → ∞ cuando ||v|| → 1+
De aquí se deduce que cuando una partícula material acelera e incrementa su velocidad hacia la velocidad de la luz, su masa y por tanto, su Energia tienden a hacerse infinitas, por tanto no es posible acelerar una partícula, por pequeña que esta sea a la velocidad de la luz. Con un considerable gasto de energía podríamos acelerar una nave espacial al 90% del la velocidad de la luz, sería una buena aproximación, pero no podríamos nunca llegar a cubrir totalmente ese 10% que falta.
E → ∞ cuando ||v|| → 1+
De aquí se deduce que cuando una partícula material acelera e incrementa su velocidad hacia la velocidad de la luz, su masa y por tanto, su Energia tienden a hacerse infinitas, por tanto no es posible acelerar una partícula, por pequeña que esta sea a la velocidad de la luz. Con un considerable gasto de energía podríamos acelerar una nave espacial al 90% del la velocidad de la luz, sería una buena aproximación, pero no podríamos nunca llegar a cubrir totalmente ese 10% que falta.
Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?
Deja tu post
Comentarios de otros usuarios
Deja tu post
