Coeficientes y series de Fourier

Ejemplo de cálculo de serie de Fourier

Debido a las numerosas peticiones en la web, realizaremos un ejemplo del cálculo de la serie de Fourier de una función definida a trozos a partir de un ejercicio enviado por uno de nuestros lectores. Los cálculos son más laboriosos que difíciles, pero vamos con ello ...

Se pide calcular la serie de Fourier de la función a trozos

\( f(x)=\left\{\begin{matrix} x & si\; x \in [-1,0)\\ 1 & si\; x \in [0, 1] \\ 0 & si\; |x|>1 \end{matrix}\right.\)



Lo primero de todo es que nuestras fórmulas aquí vistas se refeiren a intervalo \([-\pi, \pi] \), así que hacemos un cambio de variable

\(t = \pi x\) y obtenemos

\( f(t)=\left\{\begin{matrix} \frac{t}{\pi} & si\; t \in [-\pi,0)\\ 1 & si\; t \in [0, \pi] \\ 0 & si\; |t|>\pi \end{matrix}\right.\)

Ya podemos aplicar nuestras fórmulas para la serie de Fourier que recordamos era

$$ f(x)=\frac{A_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(A_n cos nx + B_nsin nx ) $$ Con \( A_i, B_i \in \mathbb{R} \) y cumpliendo que

(1)       \( A_0= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx\)

(2)      \( A_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) cos nx dx\)

(3)      \( B_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) sin nx dx\)


Empezamos calculando (1)

\( A_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} \frac{t}{\pi}dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} dt = \frac{1}{\pi}( \pi-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \)

A continuación, calculamos (2), para ello nuestra integral se separa en dos trozos

\( A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} \frac{t}{\pi} cos(nt)dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cos(nt)dt = I_1 + I_2\)

Empezamos calculando la primera de las integrales I1, lo hacemos por partes

\(\left\{\begin{matrix} u= \frac{t}{\pi} \Rightarrow du=\frac{dt}{\pi} \\ dv= cos(nt) dt \Rightarrow v=\frac{sin(nt)}{n} \end{matrix}\right.\)

Aplicando el método de integración por partes, cuya fórmula recordamos era

\(\int udv = uv-\int vdu\)

Así

\( I_1 = 0 - \frac{1}{\pi^2} \int_{-\pi}^{0} \frac{sin(nt)}{n}dt = ... = \frac{1}{(\pi n)^2} (1-(-1)^n) \)

Ahora calculamos la segunda integral, vemos que

\( I_2 = 0 \)

\( A_n= \frac{1}{(\pi n)^2} (1-(-1)^n) \)

Paciencia, ya solo queda calcular los Bn, cuyo cálculo es muy parecido al cálculo anterior



\( B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} \frac{t}{\pi} sin(nt)dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} sin(nt)dt = J_1 + J_2\)

Empezamos calculando J1, procedemos como antes por partes para obtener.

\( J_1 = -\frac{(-1)^n}{n\pi} \)

J2 se calcula directamente

\( J_2 = \frac{1}{n \pi}(1- (-1)^n) \)

Por tanto

\( b_n = \frac{2-(-1)^n}{n\pi}\)

Ya tenemos todos los ingredientes para la fórmula de la serie de Fourier queda de la siguiente manera

\(f(t)=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\pi n)^2} (1-(-1)^n)cos(nt) + (\frac{2-(-1)^n}{n\pi}) sin(nt) \)

Ya está casi todo hecho, lo único ahora es deshacer el cambio de variable inicial para obtener finalmente:

\( f(x)=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\pi n)^2} (1-(-1)^n)cos(n \pi x) + (\frac{2-(-1)^n}{n\pi}) sin(n \pi x) \)


Para probar nuestro resultado podemos irnos al calculador de series de Fourier en esta misma página, si introducimos nuestra función queda



si pulsamos en calcular, con n=8 obtenemos



Como vemos los resultados numéricos coinciden (salvo error de truncación) con los valores obtenidos, la gráfica queda






Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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