Espacios de Hilbert

El objetivo de esta sección, es encontrar una clase de funciones para los que la serie de Fourier tiene sentido.

La idea que nos guía es buscar una equivalencia entre algún espacio de funciones y algún espacio de sucesiones, de este modo tendremos una equivalencia entre los coeficientes de Fourier y las funciones que ellos representan.

Aquí tomaremos las series de Fourier en su formato complejo, es decir, tomamos como serie de Fourier el límite de las sucesiones

\(S_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N} f_{n}e^{2\pi nx} \)

Esto puede hacerse ya que

\(cosnx= \displaystyle \frac{ e^{inx}+e^{-inx}}{2} \)
\(sinnx= \displaystyle \frac{ e^{inx}-e^{-inx}}{2i} \)

Sustituyendo estas fórmulas en

\(f(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n}cosnx+B_{n}sinnx) \)      

se obtiene la Serie de Fourier en su formato complejo.

Y consideraremos el espacio de funciones \( 2\pi \)-Periódicas de cuadrado integrable, es decir el conjunto

\( L^2(T)=\{f: f(x)=f(x+2 \pi) : \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2<\infty \} \)

Este es un importante ejemplo de un Espacio de Hilbert , donde además se consideran dos funciones iguales si solo difieren en un conjunto de medida cero, lo explicamos todo a continuación.

Teoría en extensión

Llamamos

\( \mathbb{I} ^2(-\pi, \pi)=\{f: \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2<\infty \} \)

Ahora hacemos sobre este conjunto la siguiente relación de equivalencia

\(f, g \in \mathbb{I} ^2(-\pi, \pi), f R g \Leftrightarrow f=g\; (a.e) \)

donde a. e. significa almost everywhere (o en español: en casi todo punto), quiere decir que el conjunto de puntos donde las funciones son diferentes tiene medida cero.

Al conjunto de clases de equivalencia

\( \mathbb{I} ^2(-\pi, \pi)/R \)

Le llamamos Simplemente

\( L ^2(-\pi, \pi) \)

Obsérvese que todo este argumento es solo para decir que consideramos dos funciones iguales si son iguales excepto en un conjunto de medida cero.

En este espacio podemos hacer el producto escalar

\( <f,g >=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx \)(1)



Se puede demostrar que este espacio de funciones \( L ^2(-\pi, \pi) \) dotado del producto interior (1) es, de hecho un Espacio de Hilbert . Además, en él podemos obtener la siguiente norma

\(||f(x)||=\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2 dx \)

Consideramos ahora, de una manera análoga, el espacio de sucesiones de cuadrado sumable, es decir, consideramos el conjunto

\( l^2(Z)=\{(a_{n}) _{n=-\infty}^{\infty} : \sum_{n=\infty}^{\infty}(a_n)^2 < \infty \} \)

También de modo equivalente como hicimos en el espacio de funciones, en este espacio podemos definir un producto escalar y una norma del siguiente modo

\( < (a_{n}, b_{n}) >= \sum_{n=-\infty}^{\infty}(a_n)(b_n) \)

\( ||(a_{n})||^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n|^2 \)

Este espacio \( l^2(Z) \), así definido es también un espacio de Espacio de Hilbert .

El siguiente teorema nos garantiza la existencia de un sistema Ortonormal completo para todo Espacio de Hilbert esto significa que todo elemento de un espacio de Hibert, H se puede poner como combinación lineal infinita de elementos del propio espacio, o dicho de otro modo, existe una sucesión de H tal que el espacio generado por la sucesión es todo H. Otra manera de decirlo es que el sub-espacio generado por la sucesión es denso en H.

Obsérvese que estamos trabajando con espacios vectoriales de dimensión infinita: las bases de vectores tienen infinitos elementos y las combinaciones lineales son ahora infinitas.

Teorema
Todo Espacio de Hilbert posee un sistema Ortonormal completo.


Ahora, dado un Espacio de Hilbert , H y un sistema Ortonormal {un} de H, podemos construir la Transformada de Fourier del siguiente modo

\( T:H \rightarrow l^2(Z) \)
\( \: \: \: \: \; x \rightarrow T(x)=\{ <x,u_{n} > \} _{n=0} ^{\infty} \)

Lo primero es notar que la aplicación está bien definida gracias a la Desigualdad de Bessel

\( \sum_{n=-\infty}^{\infty} <x, u_{n} > \leqslant || x ||^2 \)

Teorema (Caracterización de sistemas ortonormales completos)

Sea H Espacio de Hilbert y sea {un} sistema Ortonormal de H. Entonces son Equivalentes

1) La sucesión \( \{u_{n} \} \) es un sistema ortonormal Completo

2) El subespacio generado por \( \{u_{n} \} \), es decir, el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de \( \{u_{n} \} \) es denso en H.

3) La desigualdad de Bessel se convierte en la Identidad de Plancherel

\( \sum_{n=-\infty}^{\infty} <x, u_{n} > = || x ||^2 \)

4) La transformada de Fourier es una isometría.

Nota: La última de estas condiciones es el Teorema de Riesz-Fischer.

Corolario

Todo Espacio de Hilbert es isomorfo e isométrico a un espacio de tipo L 2
Así pues, todo espacio de Hilbert, H es esencialmente un L 2, el cual es isomorfo e isométrico a un espacio de sucesiones llamado aquí l 2(Z). Sabiendo esto y volviendo al revés, si los coeficientes de Fourier fueran un sistema ortonormal completo en l2(Z), entonces se podrian identificar con una función del espacio L 2.

Teorema

La sucesión de funciones

\(u_{n}(x)=e^{2\pi nx} \)

Forma un sistema Ortonormal completo

De este modo se pueden hacer una equivalencia entre los conjuntos L2 y l2(Z). Dicha equivalencia se hace a través de los Coeficientes de Fourier , es decir la aplicación

\( T:H \rightarrow l^2(Z) \)
\( \: \: \: \: \; f \rightarrow \hat{f}=\{f_n \)

Donde \( f_n = < f,e^{2 \pi nx} > =\int_{0}^{1}f(x)e^{-2\pi nx}dx \).

es un isomorfismo isométrico debido a la identidad de Plancherel

\(||f||=|| \hat{f}=\sum_{n=- \infty}^{ \infty } f_n \)

Y además se cumple la identidad de Perseval

\( <f,g >=< \hat{f},\hat{g} >=\sum_{n=- \infty}^{ \infty } f_n g_n \)

En particular si {an} ∈ l2(Z), entonces las sumas parciales

\( S_{n}(x)= \sum_{n=-N}^{N } a_{n} e^{2 \pi nx} \)

Forman una sucesión convergente a cierta función, f ∈ L2

Así es como podemos identificar f(x) con su serie de Fourier, obtenemos finalmente:

\( f(x)= \sum_{n=- \infty}^{ \infty } f_{n} e^{2 \pi nx} \)





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