El objetivo de esta sección, es encontrar una clase de funciones para los que la serie de Fourier tiene sentido.
La idea fundamental es, buscar una equivalencia entre algún espacio de funciones y algún espacio de sucesiones, de este modo, tendremos una equivalencia entre los coeficientes de Fourier y las funciones que ellos representan.
Aquí; tomaremos las series de Fourier en su formato complejo, es decir, tomamos como serie de Fourier el límite de las sucesiones

     SN (x) = ∑ N-N f-n e2inx

Esto puede hacerse ya que

      cos nx = (einx + e-inx ) / 2
      sin nx = (einx - e-inx ) / 2i

Sustituyendo estas fórmulas en

     f(x) = A0/2 + ∑ ∞n=1 ( An cos nx + Bn sen nx)      (1)

se obtiene la Serie de Fourier en su formato complejo.
Y consideraremos el espacio de funciones 2π-Periódicas de cuadrado integrable, es decir el conjunto

     L2 (T) { f funciones periódicas: ∫π-π |f(x)|2 < ∞ }

Este es un importante ejemplo de un Espacio de Hilbert , donde además se consideran dos funciones iguales si solo difieren en un conjunto de medida cero, lo explicamos todo a continuación.

Llamamos

     £2 (-π, π) = { f funciones : ∫π-π |f(x)|2 < ∞ }

Ahora hacemos sobre este conjunto la siguiente relación de equivalencia

     f, g ∈ £2 (-π, π) , f R g <=> f(x) = g(x) a.e.

donde a. e. significa almost everywhere (o en español, en casi todo punto), quiere decir que el conjunto de puntos donde las funciones son diferentes tiene medida cero.

Al conjunto de clases de equivalencia

     £2 (-π, π) / R

Le llamamos del siguiente modo

     L2 (-π, π)

Obsérvese que todo este argumento es solo para decir que consideramos dos funciones iguales si son iguales excepto en un conjunto de medida cero.

En este espacio podemos hacer el producto escalar

     <f, g> = ∫π-πf(x) g(x) dx     (1)

y con él podemos obtener la siguiente norma

     || f ||2 = ∫π-π | f(x) | 2 dx

Se puede demostrar que este espacio de funciones L2 (-π, π) dotado del producto interior (1) es un Espacio de Hilbert .

Consideramos ahora el espacio de sucesiones de cuadrado sumable, es decir, consideramos el conjunto

    l 2 (Z) = { ( an )∞n=-∞ : ∑∞n=-∞ ( an ) 2 < ∞ }

También de modo equivalente, en este espacio podemos definir un producto escalar y una norma del siguiente modo

     < ( an ), ( bn ) > = ∑∞n=-∞ an bn

     || (an) ||2 = ∑∞n=-∞ (an)2

Por tanto este espacio l2 (Z) es también un espacio de Espacio de Hilbert .

El siguiente teorema nos garantiza la existencia de un sistema Ortonormal completo para todo Espacio de Hilbert esto significa que todo elemento de un espacio de Hibert, H se puede poner como combinación lineal infinita de elementos del propio espacio, o dicho de otro modo, existe una sucesión de H tal que el espacio generado por la sucesión es todo H. Otra manera de decirlo es que el sub-espacio generado por la sucesión es denso en H.

Obsérvese que estamos trabajando con espacios vectoriales de dimensión infinita (las bases tienen infinitos elementos y las combinaciones lineales son ahora infinitas).

Ahora, dado un Espacio de Hilbert , H y un sistema Ortonormal {un} de H, podemos construir la Transformada de Fourier del siguiente modo

     T: H → l 2(Z)
        x   → T(x) = { <x, un> }∞n=-∞

Lo primero es notar que la aplicación está bien definida gracias a la Desigualdad de Bessel

     ∑∞n=-∞ < x, un > ≤ || x ||2


Nota: La última de estas condiciones es el Teorema de Riesz-Fischer.

Así pues, todo espacio de Hilbert, H es esencialmente un L 2, el cual es isomorfo e isométrico a un espacio de sucesiones llamado aquí l 2(Z). Sabiendo esto y volviendo al revés, si los coeficientes de Fourier fueran un sistema ortonormal completo en l2(Z), entonces se podrian identificar con una función del espacio L 2.


De este modo se puede hacer una identificación entre los conjuntos L 2 y l2(Z). Dicha identificación se hace a través de los Coeficientes de Fourier , es decir la aplicación

     T: L 2(T) → l 2(Z)
                f → f^ = { fn }

Donde fn = < f, e2πinx > = ∫10 f(x) e-2πinx dx.

es un isomorfismo isométrico debido a la identidad de Plancherel || f || = || f^ || = ∑∞n=-∞ fn
Y además se cumple la identidad de Perseval

    <f, g> = <f^, g^> = ∑∞n=-∞ fn gn

En particular si {an} ∈ l2(Z), entonces las sumas parciales

     SN (x) = ∑ N-N fn e2πinx

Forman una sucesión convergente a cierta función, f ∈ L2