El Método de los multiplicadores de Lagrange es un método para resolver problemas de programación no lineal, es decir, problemas en los que tanto la función objetivo y las funciones de restricciones son no lineales, es decir, problemas de la forma
maximizar f (x)
Sujeto a
gi (x) = 0
Con gi: Rn → R
f: Rn → R
y x ∈ Rn
i entero positivo, con 1 ≤ i≤ m
Suponemos que tanto f, como las gi son funciones al menos, dos veces diferenciables
Método de los multiplicadores de Lagrange
Pricipios y conceptos básicos
La idea es estudiar las curvas de nivel de la funcion f, es decir, aquellos valores vectoriales x en los que
N (f, k) = { x∈ Rn : f(x) = k}
Como quiera que f, está restringida a gi(x) = 0, el conjunto factible será la intersección de este conjunto con el conjunto de nivel 0 de cada una de las gi, es decir cada conjunto
N (gi, 0) = { x∈ Rn : gi (x) = 0}
Y así
RF = Región factible = N (f, k) ∩ N (gi, 0) , con i = 1, 2, ..., m
N (f, k) = { x∈ Rn : f(x) = k}
Como quiera que f, está restringida a gi(x) = 0, el conjunto factible será la intersección de este conjunto con el conjunto de nivel 0 de cada una de las gi, es decir cada conjunto
N (gi, 0) = { x∈ Rn : gi (x) = 0}
Y así
RF = Región factible = N (f, k) ∩ N (gi, 0) , con i = 1, 2, ..., m
Teoría en Extensión
Lo primero de todo es notar que por ser f continua y RF compacto (intersección de compactos), f alcanza su máximo en RF (y su mínimo).
Supongamos que f tiene un máximo en el punto x0 y supongamos por ahora que ∇ f(x0)≠ 0 .
si nos desplazamos por los conjuntos de nivel de la f en la direcciónde mayor crecimiento de la función, esto es en la dirección de ∇ f, para el punto x0 f alcanza el máximo, supongamos el valor k0, por tanto tendremos el conjunto de nivel N (f, k0).
Por otro lado, por estar x0 en la región factible, este conjunto de nivel intersecta con a cada N (gi, 0) en el punto x0.
Se puede demostrar que en x0, los conjuntos de nivel N (f, k0) y N (gi, 0) se cortan de manera tangente, es decir ∇ f y ∇ gi son paralelos ∀ i , por tanto se tiene que
∇f (x0) = λi ∇gi (x0)
Por tanto el máximo de f restringida a gi = 0 es el máximo de la función
L(x, λ) = f(x) - λi gi(x)
A los números λi se les llaman multiplicadores de Lagrange
Recordando la condición del gradiente, una condición necesaria para que x0 sea un punto crítico de L es que se cumpla que
Obsérvese que ∇L es una función vectorial con n+m coordenadas, es decir ∇L = (Lx1, ... , Lxn, Lλ1, ..., Lλm),
Así nuestro problema de programación no lineal se ha reducido a resolver un sistema no lineal de n+m ecuaciones para las incógnitas xj, λi, donde . 1 ≤ i≤ m, 1 ≤ j≤ n . Lo cual es un problema, en principio, nada trivial de resolver, cuyas ecuaciones son.
Obsérvese también que los puntos donde se verifica el sistema de ecuaciones pueden corresponder a máximos, mínimos o puntos de silla, de modo que la solución, en principio, tampoco está garantizada por este método, tales soluciones van a requerir un análisis un poco mayor, entre ellos el cálculo del Hessiano o bien se puede recurrir a un análisis de la vecindad del punto en cuestión para analizar la solución.
Hay varios métodos para el cálculo de máximo de L uno de ellos es aplicar el método del gradiente a la función L Esto es, calcularemos numéricamente ∇L e iremos avanzando en la dirección en la que tiende a hacerse cero, encontrado este punto, el método del Hessiano o otro tipo de análisis nos dirá siel punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Supongamos que f tiene un máximo en el punto x0 y supongamos por ahora que ∇ f(x0)≠ 0 .
si nos desplazamos por los conjuntos de nivel de la f en la direcciónde mayor crecimiento de la función, esto es en la dirección de ∇ f, para el punto x0 f alcanza el máximo, supongamos el valor k0, por tanto tendremos el conjunto de nivel N (f, k0).
Por otro lado, por estar x0 en la región factible, este conjunto de nivel intersecta con a cada N (gi, 0) en el punto x0.
Se puede demostrar que en x0, los conjuntos de nivel N (f, k0) y N (gi, 0) se cortan de manera tangente, es decir ∇ f y ∇ gi son paralelos ∀ i , por tanto se tiene que
∇f (x0) = λi ∇gi (x0)
Por tanto el máximo de f restringida a gi = 0 es el máximo de la función
L(x, λ) = f(x) - λi gi(x)
A los números λi se les llaman multiplicadores de Lagrange
Recordando la condición del gradiente, una condición necesaria para que x0 sea un punto crítico de L es que se cumpla que
Método de los multiplicadores de Lagrange
∇L (x0) = 0
Con
L(x, λ) = f(x) - λi gi (x)
∇L (x0) = 0
Con
L(x, λ) = f(x) - λi gi (x)
Obsérvese que ∇L es una función vectorial con n+m coordenadas, es decir ∇L = (Lx1, ... , Lxn, Lλ1, ..., Lλm),
Así nuestro problema de programación no lineal se ha reducido a resolver un sistema no lineal de n+m ecuaciones para las incógnitas xj, λi, donde . 1 ≤ i≤ m, 1 ≤ j≤ n . Lo cual es un problema, en principio, nada trivial de resolver, cuyas ecuaciones son.
Ecuaciones del método de los multiplicadores de Lagrange
Lx1 = 0
...
Lxn = 0
Lλ1 = g1(x) = 0
...
Lλm = gm(x) = 0
Con
L(x, λ) = f(x) - λi gi (x)
Lx1 = 0
...
Lxn = 0
Lλ1 = g1(x) = 0
...
Lλm = gm(x) = 0
Con
L(x, λ) = f(x) - λi gi (x)
Obsérvese también que los puntos donde se verifica el sistema de ecuaciones pueden corresponder a máximos, mínimos o puntos de silla, de modo que la solución, en principio, tampoco está garantizada por este método, tales soluciones van a requerir un análisis un poco mayor, entre ellos el cálculo del Hessiano o bien se puede recurrir a un análisis de la vecindad del punto en cuestión para analizar la solución.
Hay varios métodos para el cálculo de máximo de L uno de ellos es aplicar el método del gradiente a la función L Esto es, calcularemos numéricamente ∇L e iremos avanzando en la dirección en la que tiende a hacerse cero, encontrado este punto, el método del Hessiano o otro tipo de análisis nos dirá siel punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de silla.
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