El espacio de Minkowski

Conceptos y Principios Básicos

Ya hemos visto que hay discrepancias entre la cinemática clásica (de Galileo) y los fenómenos electromagnéticos. La transformación de Lorentz hace que estas discrepancias desaparezcan, el precio a pagar por ello es una relativa complejidad añadida a las fórmulas.

La transformación de Lorentz y muchas de las ideas relativistas y sus fórmulas ya habían aparecido antes del famoso artículo de Einstein de 1905, sin embargo fué él quien creó el marco completo y sólido en el que estas ideas tenian su verdadero significado y como de ellas se deducía la equivalencia entre la masa y la energía según la fórmula más famosa de la ciencia

\( E=mc^{2} \)

La teoria especial de la Relatividad de Einstein puede resumierse en dos postulados:

Postulados de Relatividad Especial.

1) Las leyes que gobiernan los sistemas físicos son iguales para todos los observadores inerciales, dicho de otro modo, los fenómenos físicos no cambian entre sistemas de referencia inerciales, es decir cuando los cambios se expresan en sistemas en movimiento relativo rectilíneo y uniforme.

2) La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales y su valor es (aproximadamente) c = 300.000km/s.

De estos postulados sencillos (en un principio) y de la transformación de Lorentz se desprende toda la teoria especial de la relatividad.

Teoría en Extensión

El Espacio de Minkowski es el modelo matemático para el concepto físico de espacio-tiempo. La idea es: en el espacio vacío, lejos de masas y cargas eléctromagnéticas, la curvatura es cero. El Espacio de Minkowski representa el espacio ambiente en que se desarrolla la teoría de la relatividad especial.

El Espacio de Minkowski junto con la transformación de Lorentz y las unidades relativistas son todo lo que necesitamos para mostrar de modo sencillo las consecuencias de la teoría de la relatividad especial en lo que resta de sección, tal y como figuran en el artículo de Einstein en 1905.

Consecuencias de la relatividad especial



1) La velocidad de la luz es máxima : Para que en la transformación de Lorentz γ tenga sentido debe cumplirse que |v| < c

2) Dilatación del tiempo : Si un objeto en movimiento a velocidad v, digamos una nave espacial. Supongamos que un observador en la tierra en reposo observa la nave, dicho observador percibirá que en el intevalo de tiempo \(t_2-t_1\), la nave espacial habrá recorrido desde \(x_1=vt_1\) hasta \(x_2=vt_2\).
Supongamos ahora el observador en el interior de la nave espacial, debido a la transformación de Lorentz

\( t_1'=\gamma(t_1-\frac{v^ 2t_1}{c^2}) \)

\( t_2'=\gamma(t_2-\frac{v^2t_2}{c^2}) \)

Por tanto, operando tenemos

\( \gamma(t_2'-t_1') = t_2-t_1 \)

Esto implica que el intervalo de tiempo es mas largo en un reloj que viaja en el interior de la nave pues cada segundo hay que multiplicarlo por γ > 1.

3) Contracción del espacio : Tomamos el ejemplo del punto anterior, la nave espacial a velocidad v. Para un observador en reposo en la tierra los extremos de la nave son \(x_1, x_2\), en cambio dichos extremos para un observador dentro la nave son \(x_1', x_2'\) relacionados por la transformación de Lorentz como sigue

\(x_1'=\gamma (x_1 - vt) \)

\(x_2'=\gamma (x_2 - vt) \)

Por tanto

\(x_2' - x_1' = \gamma (x_2 - x_1) \)

Aquí es al contrario, el observador en reposo mide una longitud mayor ya que γ > 1.

4) Simultaneidad relativa : con el mismo ejemlpo, si para el observador en reposo en la tierra un evento ocurre en el instante t1 y en el punto x1 y otro evento en el instante t2 en el punto x2.

Para un observador dentro de la nave dichos fenómenos ocurren respectivamente en x1' y en el instante t1' y x2', t2'. Por la transformación de Lorentz

Si \(t_2 - t_1 = 0 \)

\( t_2' - t_1' = \gamma (t_2 - \frac{v^2x_2^2}{c^2}) - \gamma (t_1 - \frac{v^2x_1^2}{c^2}) = \gamma (x_1-x_2)\frac{v^2}{c^2} \neq 0\Leftrightarrow x_1 \neq x_2 \)

Por tanto, dos sucesos simultaneos en puntos distintos para el observador en reposos no lo son para el observador en movimiento en la nave espacial.

5) Nueva regla para sumar de velocidades : De nuevo el mismo ejemplo, supongamos que el observador en la nave espacial y observa un objeto desplazándose a velocidad, según sus coordenadas

\( v_2= \frac{\mathrm{dx'} }{\mathrm{d} t'} \)

El observador en reposo, en cambio ve este movimiento con velocidad \( v_1= \frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t} \).

\( v_2= \frac{\mathrm{dx'} }{\mathrm{d} t'} = \frac{\mathrm{dx' dt} }{\mathrm{d} t' \mathrm{d} t}=\frac{\gamma (\frac{dx}{dt}-v)}{\gamma (1-\frac{vdx}{c^2dt})} \)

\( \displaystyle{ \Rightarrow v_2 = \frac{v_1-v}{1-\frac{vv_1}{c^2}} }\)

\( \displaystyle{\Rightarrow v_1 = \frac{v+v_2}{1+\frac{vv_2}{c^2}} } \).

Esta es la llamada regla para sumar velocidades en relatividad especial. Obsérvese que \(v_1 = v_2 + v \) para velocidades pequeñas a las que estamos acostumbrados.
Por otro lado si \( v_2=c \Rightarrow v_1=c \), lo cual es coherente con la primera consecuencia: La velocidad de la luz es máxima.

6) Equivalencia entre masa y energía : Esto lo vemos en la sección E=MC2





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