Naturaleza de las Series de Fourier

Conceptos y Principios Básicos

Al intentar resolver muchos problemas Físicos y matemáticos aparecen series trigonométricas, llamadas series de Fourier de la forma
$$ f(x)=\frac{A_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(A_n cos nx + B_nsin nx ) $$
Con

\( A_i, B_i \in \mathbb{R} \)

y cumpliendo que

\( A_0= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx\)

\( A_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) cos nx dx\)

\( B_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) sin nx dx\)

Ahora bien ¿Para que clase funciones se puede hacer este desarrollo? Los intentos de responder a esta pregunta han hecho progresar varias ramas del análisis matemático y de las matemáticas en general durante los últimos dos siglos.
Ya podemos anticipar que la clase de funciones para las que la serie de Fourier como la dada tiene sentido es bastante grande, al menos mucho más que para el caso de las series de potencias, en las que una función admite tal desarrollo si tiene derivadas continuas de todos los órdenes. Para tener un desarrollo en serie de Fourier, como veremos, una función no precisa ni si quiera ser continua para admitir tal desarrollo, sin embargo, esto no quiere decir que la serie de Fourier sea convergente si la función f es continua, sin embargo como veremos, toda función diferenciable admite una serie de Fourier.

Teoría en Extensión

Las series de Fourier aparecen de modo natural en muchos problemas físicos, por ejemplo, al intentar resolver problemas de contorno, o también llamados problemas de Frontera. Por ejemplo, consideremos la ecuación del Calor unidimensional
$$ a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial y} $$
Supongamos una barra de metal de longitud pi=3,1415926... cuyos extremos se mantienen a tempertura constante, digamos 0.
Supongamos además que en un tiempo inicial, t=0, el valor de la temperatura viene dado por la función f(x)
Supongamos también que en el instante inicial no hay cambios en la temperatura
Si ponemos estas condiciones todas juntas, se traducen en

\( \left\{\begin{matrix} u(x,0)= f(x) \\ u(x,t)=0 \\ u(\pi,t)=0 \\ \frac{\partial u}{\partial t}(0) = 0 \end{matrix}\right. \)
La ecuación del calor a resolver es, como hemos dicho   $$ a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial y} $$
Resolvemos esta ecuación por el método de separación de variables, esto es suponer que la solución es de la forma

\( u(x, t)=v(x)w(t) \)

así, la ecuación queda

\( v'' w = w' v \Rightarrow \frac{v''}{v} = \frac{w'}{w} = -k \)

por tanto tenemos dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias separadas

     v'' + kv = 0    (1)
     w' + a2 kv = 0    (2)

Resolvemos primero (1) en función del valor k: los casos k = 0 y k < 0 se reducen a la solución trivial u = 0
Así tomamos el caso k > 0, donde la solución es de la forma

\( v(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n cos \sqrt{k}x + B_nsin \sqrt{k} x ) \)

Aplicando las condiciones iniciales, obtenemos

\( A_n = 0, k=n^2, \forall n \)

Entonces la solución de (1) queda

\( v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n sin nx \)

con

\( B_n = \frac{2}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) sin nx dx \)

Si ahora resolvemos (2), obtenemos

\( w(t) = e^{(- a^2 n^2 t)} \)

Así la solución general de la ecuación del calor unidimensional es
\( u(x, t)= \sum_{n=1}^{\infty} e^{(- a^2 n^2 t)} B_n sin nx \)

Como se ve, en la solución aparecen los coeficientes de Fourier. El saber si esta solución tiene sentido depende de que en t = 0 se cumpla que

\( f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} B_n sin nx \)

Desde un principio, no hemos dado condiciones a la f ni sobre sus derivadas. Quedan muchas preguntas por responder en todo lo que hemos hecho, entre otras: Bajo que condiciones de la f Converge la serie? Uniformemente? En que sentido? y si converge lo hace hacia f?





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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