Una composición de dos funciones es la operación dada por aplicar una función y después la otra
se denota por fog(x), es decir:
\( f\circ g(x) = f(g(x)) \)
Por ejemplo, dadas
\( \begin{matrix} f(x)=x^2 \\ g(x)=sin x \end{matrix} \)
Entonces
\( f\circ g(x) = f(g(x)) = f(sin(x)) = (sin x)^2 \)
La regla de la cadena es la fórmula que define la derivada de una composición de dos funciones y está dada por
\( (f\circ {g})'(x)=lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f\circ {g}(x + h) - f\circ {g}(x)}{h}} = f'(g(x)) g'(x) \)
Esta es una regla básica del análisis, pues entre otras cosas, permite obtener la fórmula de la función inversa, derivadas dentro del signo integral y muchas otras.
La regla de la cadena: Derivadas dentro del signo integral
Principios y Conceptos básicos
Teoría en extensión
Fórmula de la función inversa
Dada una función derivable f(x), nos preguntamos por la derivada de la inversa. Como quiera que
\( f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x)) = Id = x \)
Entonces, podemos aplicar la regla de la cadena que hemos visto antes para obtener
\( f(f^{-1}(x))' = f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x) = 1 \)
Entonces si f'(x) ≠ 0 , se tiene
\( (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)
El hecho de que f'(x) ≠ 0 implica que f es inyectiva, ya que por el teorema del valor medio
Si existieran x, y distintos y tales que \( f(x) = f(y) \) entonces se tendria que
\( f(x)-f(y) = 0 \Rightarrow \exists z : f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} =0 \)
Lo cual es una contradicción.
\( f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x)) = Id = x \)
Entonces, podemos aplicar la regla de la cadena que hemos visto antes para obtener
\( f(f^{-1}(x))' = f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x) = 1 \)
Entonces si f'(x) ≠ 0 , se tiene
\( (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)
El hecho de que f'(x) ≠ 0 implica que f es inyectiva, ya que por el teorema del valor medio
Si existieran x, y distintos y tales que \( f(x) = f(y) \) entonces se tendria que
\( f(x)-f(y) = 0 \Rightarrow \exists z : f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} =0 \)
Lo cual es una contradicción.
Teorema de la función inversa
Dada una función derivable f, tal que f'(x0) ≠ 0 entonces existe un entorno (o sea un abierto conexo) centrado en x0 que denotamos por \( \mathbb{V}(x_{0}) \), tal que
$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\, \ \forall x \in \mathbb{V}(x_{0}) $$
Derivadas bajo el signo integral
Muchas funciones del análisis están definidas bajo un signo integral, por ejemplo la función
\( f(x)=\int_{a}^{x^2} \frac{1}{1+cos 3t} dt \)
Podemos considerarla como la composición de dos funciones h y g donde
\( h(x)= \int_{a}^{x}\frac{1}{1+cos3t} dt \)
\( g(x) = x^{2} \)
Podemos aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de f, es decir
\( f'(x) = (h \circ {g})'(x)= h'(g(x)) g'(x)= h'(x^{2}) 2x=\frac{2x}{1 + cos3x^{2}} \)
Ejemplo 1 de Derivadas bajo el signo integral
\( f(x)=\int_{a}^{x^{2}}\sin^{3}t dt \)
Entonces como en nuestro ejemplo mas arriba tomamos
\( h(x)=\int_{a}^{x}\sin^{3}t dt \)
\( g(x)=x^{2}\)
Así
\( f'(x)=(h\circ {g})'(x)= h'(g(x)) g'(x)=h'(x^{2}) 2x \)
\( f'(x)=2x sin^{3}(x^{2}) \)
Entonces como en nuestro ejemplo mas arriba tomamos
\( h(x)=\int_{a}^{x}\sin^{3}t dt \)
\( g(x)=x^{2}\)
Así
\( f'(x)=(h\circ {g})'(x)= h'(g(x)) g'(x)=h'(x^{2}) 2x \)
\( f'(x)=2x sin^{3}(x^{2}) \)
Ejemplo 2 de Derivadas bajo el signo integral
\( f(x)=\int_{x^2}^{x^{3}}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt \)
Notar que podemos dividir esta integral como suma de otras dos
\( \int_{x^2}^{x^{3}}\frac{2}{1+ \cos^{3}t} dt = \int_{-\infty}^{x^{3}}\frac{2}{1+ \cos^{3}t} dt - \int_{-\infty}^{x^{2}}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt = (1) - (2) \)
Calculamos la primera de las integrales
\( h(x)=(F\circ {G})(x) \) Donde
\( F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt\)
\( G(x)=x^{3}\)
Así, operando
\((1) = \frac{6x^{2}}{1+\cos^{3}(x^{3})} \)
Calculamos ahora la segunda de las integrales, de nuevo
\( h(x)=(F\circ {G})(x) \) Donde
\( F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt \)
\( G(x)=x^{2}\)
Así
\( (2) = \frac{4x}{1+\cos^{3}(x^{2})} \)
Ya tenemos el resultado como
\(f'(x) = (1)-(2) = \frac{6x^{2}}{1+\cos^{3}(x^{3})}-\frac{4x}{1+\cos^{3}(x^{2})} \)
Notar que podemos dividir esta integral como suma de otras dos
\( \int_{x^2}^{x^{3}}\frac{2}{1+ \cos^{3}t} dt = \int_{-\infty}^{x^{3}}\frac{2}{1+ \cos^{3}t} dt - \int_{-\infty}^{x^{2}}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt = (1) - (2) \)
Calculamos la primera de las integrales
\( h(x)=(F\circ {G})(x) \) Donde
\( F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt\)
\( G(x)=x^{3}\)
Así, operando
\((1) = \frac{6x^{2}}{1+\cos^{3}(x^{3})} \)
Calculamos ahora la segunda de las integrales, de nuevo
\( h(x)=(F\circ {G})(x) \) Donde
\( F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{2}{1+\cos^{3}t} dt \)
\( G(x)=x^{2}\)
Así
\( (2) = \frac{4x}{1+\cos^{3}(x^{2})} \)
Ya tenemos el resultado como
\(f'(x) = (1)-(2) = \frac{6x^{2}}{1+\cos^{3}(x^{3})}-\frac{4x}{1+\cos^{3}(x^{2})} \)
Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?
Deja tu post
Comentarios de otros usuarios
Deja tu post
