Diagonalización de Matrices

Principios y conceptos básicos

Antes de entrar a fondo en la teoría, si lo que estás buscando son ejemplos prácticos puedes tenerlos en estos dos enlaces:
Ejemplo 1
Ejemplo 2

Ahora sí, entramos en la teoría. Dado el endomorfismo

\( \begin{matrix} F:V\rightarrow V & \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in V \rightarrow F(x) = Ax\in V \end{matrix} \)

Con V espacio vectorial de dimensión n>1 sobre el cuerpo Κ

Ya hemos visto que para cada endomorfismo existe una matriz de dimensión nxn tal que F(v) = Av

Dos matrices, A y B sobre el cuerpo K se dice que son semejantes si existe una matriz, también sobre el cuerpo K tal que

\( B=PAP^{-1} \)

Entonces una matriz A, es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

El polinómio característico de esta matriz se descompone en k raices λj, cada una de ellas con multiplicidad (algebraica) mk y tales que.

\( \sum_{j=1}^{k}m_{j}\leq n \)

Es decir, la suma de las multiplicidades (algebraicas) es menor o igual que la dimensión del espacio V.

Si se tiene que si cada autovalor λj genera un autoespacio \( E(\lambda_{j}) \) con dimensión igual a la multiplicidad algebráica del autovalor, esto es con dimensión mk. En este caso A es una matriz diagonalizable (y también se dice que la aplicación F es diagonalizable).

En caso contrario, la suma de las dimensiones de los autoespacios generados por cada autovalor es menor que n, es decir, las bases de autovectores no llenan todo el espacio V. O dicho de otro modo alguno de los autoespacios \( E(\lambda_{j}) \) tiene dimension menor que la multiplicidad algebraica del autovalor. En este caso, la matriz no es diagonalizable pero sí es posible encontrar una base de V donde la matriz se expresa en una forma llamada canónica de Jordán

Teoría en Extensión

Sea el V un espacio vectorial de dimensión n y sea F, el endomorfismo

\( \begin{matrix} F:V\rightarrow V & \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in V \rightarrow F(x) = Ax\in V \end{matrix} \)

Y sea A la matriz nxn asociada a F.

Sea

\( P(\lambda) = (1-\lambda_1)^{m_1}.(1-\lambda_2)^{m_2} ... (1-\lambda_k)^{m_k} \)

El polinómio característico de la matriz A, con λj ∈K autovalores de A ∀j=1,2,...,k.

Solo por recordar, a cada autovalor λj le corresponde un autoespacio o espacio propio, subespacio de V dado por.

\( E(\lambda_{j}) = {x \in V : Ax= \lambda_{j}v} = ker (A - \lambda I) \)

Cada espacio propio o autoespacio está generado por una base de vectores asociados al autovalor λj. Por tanto a cada base de vectores del espacio propio llamamos

\( B_j = \begin{Bmatrix} v_1, v_2, ... v_mj \end{Bmatrix} \)

La dimensión de cada espacio propio es menor o igual que la multiplicidad algebraica de cada autovalor. A veces se llama multiplicidad geométrica a la dimensión del espacio propio, es decir

\( Dim(E(\lambda_j)) \leq m_j \)

Sin embargo si A es diagonalizable la dimensión de cada espacio propio o autoespacio coindice con la multiplicidad del autovalor, lo vemos en este Teorema.

Tenemos el siguiente Teorema como criterio de diagonalización de matrices
Teorema1 (Condición necesaria y suficiente para que A sea Digagonalizable)

A es Diagonalizable si y solo sí se cumplen

1) m1 + m1 + ... + mk = n. ( la suma de las multiplicidades algebraicas es la dimensión del espacio total V)

2) Para cada autovalor j con multiplicidad mj se tiene que la dimensión del autoespacio correspondiente es mj, es decir
Dim(E(λj)) = mj
La condición 2) implica que la para cada autovalor, su multiplicidad geométrica y igual a su multiplicidad algebraica.


Y tenemos los siguientes corolarios

Corolario 1

Si la matriz A es diagonalizable entonces V es la suma directa de los autoespacios de A, es decir

V = E(λ1) ⊕ E(λ2) ⊕ ... ⊕ E(λk)
Corolario 2

Una matriz A es Diagonalizable si y solo sí existe una base de V formada por autovectores de A


Por tanto podemos dar estas condiciones suficientes para la diagonalización

Teorema 2 (Condiciones suficientes para que A sea Digagonalizable)

1) Si el polinomio característico tiene n raices distinas en el cuerpo K entonces la matriz A es diagonalizable.

2) Si el polinomio característico tiene k raices, y los autoespacios correspondientes a cada uno tienen dimensión igual a su multiplicidad entonces matriz A es diagonalizable. (O sea para cada autovalor, su multiplicidad algebraica es igual a su multipliciadad geométrica),

3) Si no se cumplen ni 1) ni 2) entonces A no es diagonalizable


Es decir una matriz es diagonalizable si la multiplidad algebraica de cada autovalor coincide su la multiplicidad geometrica, para todos los autovalores.


En el caso de matrices simétricas, la situación es más sencilla ya que todos sus autovalores son reales, y además los autovectores correspondientes a autovalores distintos de matrices simétricas son ortogonales, recuérdese que una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir
A simétrica <=> A = At

Teorema 2 (Diagonalización de matrices simétricas)

Si A es una matriz A simétrica, entonces se tiene:

1) Todos sus Autovalores son reales

2) A es diagonalizable.

3) Los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

4) Trivialmente, los autovectores de A forman una base de V.





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