Espacios de Hilbert

Un Espacio Vectorial H, es un Espacio Normado Si en él se puede definir una operación que llamamos Norma que cumple

    1) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 <=> x=0, ∀x∈ H

    2) ||kx|| = |k| ||x|| = 0, ∀x∈ H, ∀k∈C

    3) ||x +y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y∈ H

Esta última desigualdad se llama desigualdad triangular.
Un espacioVectorial, H dotado de la operación



se dice Pre-Hilbert si se cumple

    1) <x, x> ≥ 0, <x, x> = 0 <=> x=0, ∀x∈ H

    1) <kx, y> = k<x, y> ∀x, y∈ H , ∀k∈C

    3) <x, y> = <y, x>

    4) <x1 + x2, y> = <x1, y> + <x2, y>

Un espacio Pre-Hilbert se dice que es un Espacio de Hilbert si es espacio de Banach (normado y completo) con la norma que genera.

Todo espacio de Hilbert es un espacio Normado si se considera la norma generada por

||x|| = <x, x>1/2

Se puede dar el siguiente recíproco:

Todo espacio de Banach (normado y completo) es un espacio de Hilbert si se cumple la identidad del paralelogramo

||x + y||2 + ||x - y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

Ya que entonces podemos tomar el producto interior dado por la identidad de polarización

4<x, y> = ||x + y||2 + ||x - y||2 -i ( ||x + iy||2 + ||x - iy||2 )

Un aspecto importante de un espacio de Hilbert es que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz

<x, y> ≤ ||x|| ||y||