La derivada covariante y las Geodésicas

Conceptos y Principios Básicos

Fig.1 El cilindro y el plano son isométricos, por tanto las trayectorias no sometidas a fuerzas de uno se transforman en las del otro
Dada una cierta variedad diferenciable, nos preguntamos por las trayectorias que sobre ella realizaria una partícula no sometidas a fuerzas.

Por ejemplo, si tenemos un plano las partículas no sometidas a fuerzas siguen como es obvio, trayectorias rectilíneas.

Si consideramos un cilindro, en un principio no sabemos cuales son las trayectorias, pero podemos infereir que son de la forma dada por la Figura 1. ya que el cilindro y el plano son isométricos y esas trayectorias se transforman en rectas en el plano (y recíprocamente, las rectas se transforman en esas trayectorias).

Fig. 2 Si la partícula no está sometida a otras fuerzas, seguirá una trayectória dada por el círculo máximo definido por la posición inicial y la dirección inicial
En general, queremos saber como es la trayectoria de una partícula en movimiento dentro de la variedad si la partícula no está sometida a fuerzas externas.

Supongamos que la tierra fuese una esfera perfecta con superficie lisa y sin rozamiento y en algún punto p una persona lanza una bola de bolos rasante.

Dicha bola recorrerá una trayectoria plana (en la esfera) y, como no sufre rozamiento, por efecto de la inercia debida al impulso inicial junto con la gravedad, seguirá dando vueltas a la tierra, lo que nos preguntamos aquí es ¿Como será esta trayetoria?

En este ejemplo medio trivial, es evidente que la bola describe una trayectoria dada por el círculo máximo definido por el punto inicial y la dirección inicial de la bola, ya que al realizar el lanzamiento la bola pasará por el punto antipodal a p, llamémosle q, al inicial del lanzamiento. Fig 2.
Fig.3 Si una partícula se mueve en la esfera por una trayectória que no es un círculo máximo, podemos decir que está sometida a fuerzas


Por tanto, podemos decir que si vemos una partícula moviéndose, por ejemplo sobre un paralelo, estará sometida a algún tipo de fuerza externa porque sufre una aceleración. Fig 3.

Teoría en extensión


Ya vimos como definir un campo tensorial en una variedad en la sección de Tensores en Variedad diferenciales.
Dado entonces un campo de vectores en una variedad M (recordar que un vector es un tensor (1,0)), es posible calcular su derivada. Por ejemplo supongamos que el campo tiene componentes

\( V=V^i\frac{\partial }{\partial x} = V^i \partial_i \)

La derivada respecto a xj no es \( \frac{\partial V^i }{\partial x^j} \), sino que tenemos que usar la regla de la cadena para obtener

\( \frac{\partial V}{\partial x^j} = \frac{\partial V^i}{\partial x^j} \frac{\partial}{\partial x^i} + V^i \frac{\partial^2 }{\partial x^i \partial x^j} \)

Obsérvese que el término con derivada segunda hace que la derivada el campo ya no pertenezca al espacio tangente.

No obstante, si tomamos

\( \Gamma^k _{ij} = \frac{\partial^2 }{\partial x^i \partial x^j} \partial_k \)

y lo sustituimos en el miembro con derivada segunda, tenemos

\( \frac{\partial V}{\partial x^j} = (\frac{\partial V^k}{\partial x^j} + \Gamma^k _{ij} V^i) \partial _k \)

Esto es como la proyección sobre el espacio tangente a la variedad o TP(M) de la componente de la derivada del campo que no pertenece a TP(M).

Los \( \Gamma^k _{ij} \) reciben el nombre de símbolos de Christoffel.

Lo que tenemos, de este modo es la proyección sobre el espacio tangente TP(M) de la derivada del campo de vectores.

Esta construcción es lo que se llama la derivada covariante del campo de vectores, la derivada covariante es la proyección sobre el espacio tangente de la derivada del campo. Formalmente:

Definición de derivada covariante de un campo de vectores en una variedad diferenciable



Dada una variedad semi-riemanniana y un campo de vectores definido sobre ella denotado por

\( V = V^i \partial _i \)

Se llama derivada covariante de V en la direccion j a un tensor de tipo (1, 1) cuyas componentes son (nótese la D mayúscula)

\( \frac{D V^i}{d x^j} = V_{;j} = (\frac{\partial V^k}{\partial x^j} + \Gamma^k _{ij} V^i) \partial _k \)

Por tanto la derivada convariante en la direccion xj (o la coordenada j-ésima) es el vector

\( \nabla _j V = V^i_{;j} \partial _i \)


Notación



Es habitual en geometría diferencial, denotar la derivada parcial como una coma y un subindice, de la forma

\( \frac{{\partial V}}{{\partial x^i}} = V_,i \)

Y también denotaremos la derivada covariante como una punto y coma (;) y un subindice, de la forma

\( \frac{DV}{dx^i} = V_;i \)


Vamos a especializarnos un poco más: consideramos una trayectoria y tomamos como campo de vectores el vector tangente en cada punto a dicha trayectoria. Esto permite hacer una definición de derivada covariante de la trayectoria como la derivada covariante del campo de vectores formado por el vector tangente a la trayectoria en cada punto.

Definicion de Derivada covariante en una trayectoria



Sea

\( \gamma(\lambda) = (x^1(\lambda), ..., x^n(\lambda)) \)

una curva diferenciable con su imagen en una variedad semi-riemanniana M, uniendo dos puntos p y q de M. Sea V el campo de vectores formado por el vector tangente de la curva \( \gamma) \).

Se llama Derivada Covariante de V a lo largo de \( \gamma) \) a

\( \frac{DV}{d\lambda} = (\frac{dV}{d\lambda} + \Gamma_{ij}^k V^{i}\frac{dx^j}{d\lambda}) \partial _k \)

Cuando ocurre que

\( \frac{DV}{d\lambda} = 0 \)

entonces se dice que V es un transporte paralelo a lo largo de \( \gamma) \) desde p hasta q.

Definicion de Geodésica



Sea

\( \gamma(\lambda) = (x^1(\lambda), ..., x^n(\lambda)) \)

una curva diferenciable con su imagen en una variedad semi-riemanniana M. Sea V el campo de vectores formado por el vector tangente de \( \gamma) \).

Se dice que γ es una geodésica si en toda su imagen si se cumple que

\( \frac{DV}{d\lambda} = 0 \)

O, equivalentemente

\( \frac{d^2x^k}{d\lambda^2} + \Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^j}{d\lambda} = 0 \)


Fig.4 La derivada covariante de una trayectoria es la proyección de la derivada del vector tangente α'(t) sobre el plano tangente (ó espacio tangente) TP(M)





Una partícula moviéndose a lo largo de una geodésica no está sometida a fuerzas? esto no es correcto pues la partícula aún podria sufrir aceleración modificando la norma del vector tangente. El siguiente teorema nos dice que una partícula no sometida a fuerzas se mueve a lo largo de una geodésica y su vector tangente no pude variar su longitud

Teorema de conservacion de longitud del vector tangente en una geodésica



Sea como antes

\( \gamma(\lambda) = (x^1(\lambda), ..., x^n(\lambda)) \)

una geodésica en una variedad semi-riemanniana M y sea G la métrica en dicha variedad.

Sea V el campo de vectores formado por el vector tangente de \( \gamma) \). Entonces

\( G(V(\lambda), V(\lambda)) = cte. \)







Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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