El concepto de límite
\(f(x)=cos\frac{1}{x}\)
¿Es contínua en x=0?¿Tiene límite?
De un modo poco formal se puede decir que el límite de una función de variable real en un punto, es el valor hacia el cual tiende la función cuando la variable independiente, x tiende a ese punto. Esto quiere decir la tendencia de la función cerca del punto dado. Podemos hablar también de la tendencia de la función cuando x se hace muy grande, es como decir el límite de la función cuando x tiende a infinito y así sucesivamente.
La definición rigurosa es
Definición de límite
Sea f una función de variable real. Se dice que L es el límite de f en \( x_{0} \) cuando
$$ \forall \epsilon>0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
y se denota como
$$ \lim_{x \mapsto x_{0}} f(x) = L $$
Obsérvese que lo que la definición quiere decir, es que si estamos en un punto x cercano del punto \( x_{0} \), entonces, aplicando la función f, su imagen, es decir, f(x) estará también cerca del valor L. Así pues, "Proximidad al valor \( x_{0} \) implica proximidad a L".
Continuidad
La continuidad de una función está muy relacionada con el concepto anterior de límite, tiene que ver con como una función transforma vecindades, cuando decimos que una función f es continua queremos decir que dos puntos a e b son vecinos en el eje X entonces sus imágenes mediante f, f(a) y f(b) también son vecinos en el eje Y.
Como hemos dicho. La continuidad guarda una estrecha relación con el concepto de límite, de hecho una función f es continua en \( x_{0} \) si y solo si se verifican las dos condiciones siguientes:
1.- La función f tiene límite finito L en \( x_{0} \)
2.- La función f está definida en \( x_{0} \) y su valor es L.
Ambas condiciones pueden ser recogidas en la siguiente definición más rigurosa:
Definición de continuidad
Sea f una función de variable real. Se dice que f es continua en \( x_{0} \) si
$$ \forall \epsilon>0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0}) | < \epsilon .$$
O de manera equivalente
$$ \lim_{x \mapsto x_{0}} f(x) = f(x_{0}) $$
Sea f una función de variable real. Se dice que f es continua en \( x_{0} \) si
$$ \forall \epsilon>0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0}) | < \epsilon .$$
O de manera equivalente
$$ \lim_{x \mapsto x_{0}} f(x) = f(x_{0}) $$
O sea, una función es continua en un punto si tiene límite en ese punto y el valor del límite es el valor de la función en ese punto. Es obvio que si una función es continua en un punto, también tiene límite en ese punto. El recíproco no se verifica, es decir una función podría tener límite en un punto y no ser continua en ese punto, como vemos en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Sea f(x) definida como sigue
\( f(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}\right. \)
Nótese que
\( \lim_{x \mapsto 0} f(x) = 1 \)
sin embargo \(f(0)=0\). Por tanto, la función tiene límite en x=0, pero no es contínua.
Ejemplo 2
Sea f(x) definida como sigue
\( f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{2} & x \leq 1 \\ 1+x & x>1 \end{matrix}\right.\).
Nótese que a pesar de \(f(1) = \frac{1}{2} \), pero no se puede concluir que
\( lim_{x \mapsto 1} f(x) = \frac{1}{2} \)
ya que hay un salto alrededor de x=1 de tamaño \( \frac{3}{2} \).
Esto quiere decir que si tomamos un \( \epsilon < \frac{3}{2} \) ya no podemos encontrar un \(\delta>0 \) que cumpla la condición del límite de que \(|f(x)-\frac{1}{2}|< \epsilon, \forall x \in (1-\delta, 1+\delta) \).
En particular para todos los x a la derecha de 1 se tiene (x>1)
\( |f(x)-\frac{1}{2}| \geq \frac{3}{2} \)
Por tanto la función no tiene límite en x=1 ( y por tanto tampoco es continua en este punto).
Nótese, en el gráfico interactivo que se puede arrastrar el punto x y jugar con el valor de \( \delta \). Si se toma el punto x=1, y \( \epsilon = \frac{1}{2} \) no se puede encontrar un \( \delta \) para el cual pueda cumplirse
\( |x-1|<\delta \Rightarrow |f(x) - f(1)|< \epsilon \).
En otras palabras, por mucho que podamos aproximarnos a la 1 en el eje x, siempre habrá puntos en en el eje y tales que
\( |f(x) - f(1)| \geq \frac{3}{2} \).
Y por esa condición la función no tiene límite en x=1.
Límites infinitos
Nos ocupamos ahora de casos no acotados, es decir los casos en los que la función y/o la variable independiente x, tienden a infinito.
Definición de límites infinitos
Sea f una función de variable real.
$$ \lim_{x \mapsto \infty }f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon> 0, \exists M > 0 : x>M \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
$$ \lim_{x \mapsto x_{0} }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists \delta > 0 : |x-x_{0}|< \delta \Rightarrow f(x) > M .$$
Es análoga la definición de límite para infinitos negativos
Sea f una función de variable real.
$$ \lim_{x \mapsto \infty }f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon> 0, \exists M > 0 : x>M \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
$$ \lim_{x \mapsto x_{0} }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists \delta > 0 : |x-x_{0}|< \delta \Rightarrow f(x) > M .$$
Es análoga la definición de límite para infinitos negativos
Límites laterales
Finalmente, trataremos el concepto de límites laterales. Son los límites de la función desde el lado "derecho o izquierdo" de un punto \(x_{0}\).
Definicion de límites laterales
Sea f una función de variable real.
Límite por la derecha:
$$ \lim_{x \mapsto a^{+} }f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon> 0, \exists \delta > 0 : x+a <\delta \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
Límite por la izquierda:
$$ \lim_{x \mapsto a^{-} }f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon> 0, \exists \delta > 0 : a-x <\delta \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
Sea f una función de variable real.
Límite por la derecha:
$$ \lim_{x \mapsto a^{+} }f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon> 0, \exists \delta > 0 : x+a <\delta \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
Límite por la izquierda:
$$ \lim_{x \mapsto a^{-} }f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon> 0, \exists \delta > 0 : a-x <\delta \Rightarrow |f(x) - L | < \epsilon .$$
Hay un teorema importante que a veces se usa como definición de límite. Dice que el límite en un punto existe si ambos límites laterales existen y son iguales:
Teorema
Sea f una función de variable real. Si
$$ \exists L : \lim_{x \mapsto a }f(x)=L$$
Entonces existen los límites laterales
$$\lim_{x \mapsto a^{-} }f(x)=L=\lim_{x \mapsto a^{+} }f(x) $$
El recíproco también se verifica.
Sea f una función de variable real. Si
$$ \exists L : \lim_{x \mapsto a }f(x)=L$$
Entonces existen los límites laterales
$$\lim_{x \mapsto a^{-} }f(x)=L=\lim_{x \mapsto a^{+} }f(x) $$
El recíproco también se verifica.
Ejemplo
\( f(x)=\frac{1}{x^2}\) entonces
\( \lim_{x \mapsto 0 }\frac{1}{x^2}= \infty \)
La función tiene límite infinito positivo en x=0.
Vamos a demostrarlo, tomamos un \(M>0\), veamos si podemos encontrar un \(\delta>0\) tal que si \(|x - 0| < \delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}} > M \).
Entonces
\( \frac{1}{x^{2}} > M \Rightarrow x^{2} < \frac{1}{M} \Rightarrow |x| < \frac{1}{\sqrt{M}} = \delta \)
Lo que quiero decir es que para hacer x más grande que un cierto valor muy grande M, basta tomar un intervalo alrededor de cero de radio \(\delta = \frac{1}{\sqrt{M}} \) formado por los x para los cuales f(x) > M.
Otra forma aún más sencilla de descirlo: f(x) puede hacerse tan grande como quiera con tal de aproximarnos lo suficiente al valor cero.
Ejemplo
\(f(x)=\frac{1}{x}\) entonces
\( \lim_{x \mapsto 0 }\frac{1}{x}= ? \)
La función no tiene límite en x=0. Porque el límite por la derecha cuando x tiende a 0 es infinito pero el límite por la izquierda cuando x tiende a 0 es -infinito.
Nótese que en nuestros dos últimos ejemplos, los límites laterales coinciden en el primer caso, pero no en el segundo caso.
