Método del Lagrangiano para el cálculo de los símbolos de Christoffel y las Geodésicas

Conceptos y Principios Básicos

El cálculo del los Símbolos de Christoffel puede ser bastante complicado, por ejemplo para dimensión 2 que es el número de símbolos que tiene una superfice, hay 2 x 2 x 2 = 8 símbolos y empleando la simetría serían 6.

Para dimensión 4 el número de símbolos es 64 y empleando la simetría se reducen a 40. Ciertamente son muchos cálculos para y esto es solo para encontrar las ecuaciones de las geodésicas.

Veremos en esta sección el método del Lagrangiano que nos permite obtener rapidamente las ecuaciones de las geodésicas y de ahí obtener los símbolos de Chistoffel.

Las ideas son la base del Cálculo de Variaciones llamado principio de mínima acción de Euler-Lagrange

Principio de mínima acción de Euler-Lagrange



Sea \( L\in{C^2(\mathbb{R}^3)} \) y sea C el conjunto de funciones

\( y \in C^1([a,b]) \) tales que y(a)=c, e y(b)=d, Si

\( \int_a^b L(y(x), y'(x), x) dx \)

alcanza su mínimo en alguna \( y_0\in{C} \) entonces,\( y_0 \) es solución de la ecuación diferencial

\( \frac{d}{dx}(\frac{{\partial L}}{{\partial y^{\prime}}}) - \frac{{\partial L}}{{\partial y}} = 0 \)

Teoría en extensión

Antes de nada, una cuestion de notación a partir de ahora usaremos el caracter punto "." para la derivada, esta es una notación usada en fisica, por ejemplo para denotar \( \frac{dx}{d\lambda} \) usaremos \( \dot{x} \)

El método del Lagrangiano se basa en el siguiente teorema:
Sea M una variedad m-dimensional y sean gij las componentes del tensor métrico. Entonces dada una geodésica en M

\( \gamma(\lambda) = (x^1(\lambda), ..., x^m(\lambda)) \)

Sea L el Lagrangiano asociado a la métrica

\( L=g_{ij} x\dot{_{i}}\dot{x_{j}} \)

Entonces se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange

\( \frac{d}{d\lambda}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{x}^i}}) - \frac{{\partial L}}{{\partial x^i}} = 0 \)

Ejemplo

Sea la metrica inducida por la usual en una esfera S2 (Fig 1.), es decir

\( ds^2 = d \theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2 \)

Fig. 1 La esfera S2


Escribimos el Lagrangiano asociado a esta métrica, es decir

\( L = \dot{\theta}^2 + sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \)

Entonces hacemos los cálculos

\( \frac{d}{d\lambda}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\theta}}}) = 2\ddot{\theta} \), \( \frac{{\partial L}}{{\partial \theta}} = 2\dot{\phi}^2 sin \theta cos \theta \)

\( \frac{d}{d\lambda}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\phi}}}) = 2\ddot{\phi} sin^2 \theta + 4 \dot{\theta}\dot{\phi} sin \theta cos \theta \), \( \frac{{\partial L}}{{\partial \phi}} = 0\)

Y esto nos permite ya escribir las ecuaciones de las geodésicas, obtenemos

\( \left\{\begin{matrix} \ddot{\theta} - sin \theta cos \theta \dot{\phi}^2 = 0 \\ \ddot{\phi} + 2 \displaystyle\frac{cos \theta}{sin \theta} \dot{\theta}\dot{\phi} = 0 \end{matrix}\right.\)

Recordando que la ecuacion de las geodesicas es

\( \frac{d^2x^k}{d\lambda^2} + \Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^j}{d\lambda} = 0 \)

Obtenemos tambien los simbolos de Chistoffel, son los

\( \Gamma_{22}^{1}=-sin\theta cos\theta \)

\( \Gamma_{12}^{2}=\Gamma_{21}^{2}=\frac{cos\theta}{sin\theta} \)

El resto de los símbolos de Christoffel son cero.






Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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