Entonces, por el teorema de Taylor, dada una función holomorfa en un punto a, podemos calcular el desarrollo de Taylor para f del siguiente modo: $$f(z) = f(a) + f'(a) (z-a) + \frac{f''(z)}{2!} (z-a)^{2} + ... + \frac{f^{(n)}(z)}{n!} (z-a)^{n} + .... $$
Esto nos lleva al estudio de un tipo de series de funciones más general llamado series de potencias que es el estudio de series de la forma: $$\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}(z-a)^n$$ Obsérvese que la serie siempre converge para z=a.
La serie anterior converge en algunos puntos y diverge en otros, en general, existe un radio R tal que la serie converge si |z-a| < R y diverge si |z-a| > R. Para los puntos |z-a| = R la serie puede o no converger. Se consideran los casos extremos en que R=0 cuando la serie sólo converge para z=a o bien R=∞. En general se llama a R el radio de convergencia de la serie de potencias.
Mostramos a continuación una serie de criterios de convergencias para la serie de potencias
Criterio de comparación
Si la serie \(\sum |v_{n}| \) es convergente y se tiene que \( |u_{n}| \le |v_{n}| \), entonces la serie \(\sum u_{n} \) es absolutamente convergente.
Por otro lado, si la serie \(\sum |v_{n}| \) diverge y se tiene que \( |u_{n}| \ge |v_{n}| \), entonces la serie \(\sum |u_{n}| \) diverge, pero la serie \(\sum u_{n} \) puede converger o no.
Criterio del cociente
Si \( \lim_{n\to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_{n}}| = L\), entonces \(\sum u_{n} \) converge (absolutamente) si L < 1 y diverge si L> 1. Si L=1 la prueba falla.
Criterio de la raíz
Si \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_{n}|} = L \), entonces \(\sum u_{n} \) converge (absolutamente) si L < 1 y diverge si L> 1. Si L=1 la prueba falla.
Hay otros criterios, criterio de la integral, criterio de Gauss, pero con estos por ahora será suficiente para los ejemplos que desarrollaremos aquí El siguiente es un criterio para convergencia uniforme:
Criterio M de Weierstrass
Si \(|u_{n}(z)| \le M_{n}\) para todo z de una región R y \(\sum M_{n} \) es convergente, entonces la serie de funciones \(\sum u_{n}(z) \) es convergente en toda la región R.
Veremos a continuación unos teoremas importantes sobre convergencia uniforme:
El siguiente teorema, facil de demostrar, muestra que cuando una serie de funciones converge uniformemente a una función, entonces dicha función es holomorfa.
Convergencia uniforme de una serie de funciones holomorfas
Si \(u_{n}(z) \) es analítica para todo z de una región R y todo n > 0 y si la serie de funciones \(\sum u_{n}(z) \) es uniformemente convergente en toda la región R a una función u(z).
Entonces u(z) es holomorfa en R.
El siguiente teorema nos muestra que, en caso de tener una serie de funciones contínuas con convergencia uniforme, entonces los símbolos de suma e integral, son intercambiables, es decir la integral de la suma es lo mismo que la suma de las integrales.
Integral de una serie
Si \(u_{n}(z)\) es contínua para todo z de una región R y para todo n>0. Si la serie de funciones \(\sum u_{n}(z) \) es uniformemente convergente en toda la región R y si C es una curva contenida en R, entonces se tiene
$$ \int_{C} \sum u_{n}(z) dz = \sum \int_{C} u_{n}(z) dz$$
Con la derivada ocurre casi lo mismo, siempre que la serie de funciones derivadas sea también convergente.
Derivada de una serie
Si \(u_{n}(z)\) es holomorfa para todo z de una región R y para todo n>0. Si la serie
\(\sum u_{n}(z) \)
Converge y la serie de las derivadas de funciones
\(\sum u'_{n}(z) \) es uniformemente convergente en toda la región R, entonces se tiene
$$ \frac{d}{dz}(\sum u_{n}(z)) = \sum u'_{n}(z) dz$$
El siguiente teorema, muestra que una serie de potencias converge uniforme y absolutamente para todos los puntos interiores al circulo formado por su radio de convergencia:
Convergencia uniforme y absoluta de una serie de potencias
La serie de potencias
\(\sum a_{n}z^{n} \)
Converge uniforme y absolutamente en toda región contenida en el círculo formado por su radio de convergencia.
Para probar la convergencia absoluta, obsérvese que como la serie converge, podemos encontrar un n lo suficientemente grande, digamos \( \forall n>N : |a_{n}z_{0}^{n}| < 1 \)
O sea
\(|a_{n}| < \frac{1}{|z_{0}^{n}|}\)
Entonces podemos hacer lo siguiente \( \forall z: || < |z_{0}|\)
$$ \sum _{n=N+1}^{\infty}|a_{n}z^{n}| = \sum _{n=N+1}^{\infty}|a_{n}||z|^{n} \le \sum _{n=N+1}^{\infty}\frac{|z|^{n}}{|z_{0}|^n} $$
Nótese que la última serie converge (serie geométrica). Por el criterio de comparación, la serie primera converge lo que implica que la serie converge absolutamente como queríamos demostrar.
De este modo, toda serie de potencias se puede derivar término a término e integrar sobre una curva término a término.
