Variedad Diferenciable

Conceptos y Principios Básicos

El concepto de variedad diferenciable extiende al de las superficies regulares y curvas en \(\mathbb{R}^n \). Una variedad diferenciable de dimensión n, puede considerarse de manera intuitiva como un objeto geométrico construído a partir de "trozos de \(\mathbb{R}^n \) pegados de forma diferenciable". Donde por trozos queremos decir abiertos en la topología inducida por la usual, por ejemplo ...

Imaginemos el péndulo simple:

Para representar la posición del péndulo necesitamos un ángulo en
\([0, 2 \pi] \): la Circunferencia.
\( \mapsto \)
circunferencia


Localmente y desde un punto de vista topológico, la circunferencia es intervalo de \(\mathbb{R} \).

Incrementemos una dimensión, imaginemos ahora el péndulo doble:


Para representar la posición del péndulo doble necesitamos dos ángulos en
\([0, 2 \pi] \times [0, 2 \pi]\): el Toro.
\( \mapsto \)
toro geometrico


Localmente y desde un punto de vista topológico, el Toro es como un plano: el producto cartesiano de dos intervalos.

Si incrementamos una dimensión más y considereamos el péndulo triple, necesitamos tres números en \( [0, 2 \pi] \times [0, 2 \pi] \times [0, 2 \pi] \), el objeto tendrá ahora 3 dimensiones y ya no podemos representar porque será una hipersuperficie (necesitaríamos 4 dimensiones: el mínimo n para el que exista una inmersión (isométrica) de este objeto en \(\mathbb{R}^n \) es n=4).

Teoría en extensión

Definición de Carta y parametrización


Dado un espacio topológico M con la topología T, una carta es un par \( (U, \varphi ) \) tal que \( U \in T \) y \( \varphi \) es un Homeomorfismo

\( \varphi : U\subset M \mapsto V\subset \mathbb{R}^n, V=W\cap \varphi(U)\)

con W un abierto de \( \mathbb{R}^n \). Es decir \( \varphi(U) \) es un abierto en la topología heredada de la imagen de \( \mathbb{R}^n \).

A las inversas de las cartas \( \rho = \varphi^-1 \) se les llama parametrizaciones

\( \rho : \varphi^{-1}(U) \subset \mathbb{R}^n \mapsto U\subset M \)

Carta en una variedad Parametrizacion de una variedad
Carta en una variedad diferenciableParametrización en una variedad diferenciable


Presentamos ahora el concepto de atlas, que es un conjunto de cartas que recubren todo el espacio topológico.

Definición de Atlas Maximal


Un atlas Maximal \( C^\infty \) sobre un espacio topológico M es una colección de cartas \( (U_{\alpha},\varphi _{\alpha}) \) tal que

1) \( M \subset \cup_\alpha U_{\alpha} \), es decir los Uα recubren M.

2) Sea \( W= \varphi_\alpha(U_{\alpha}) \cap \varphi_\beta(U_{\beta}), W \neq \varnothing \) entonces las aplicaciones:

    φαºφβ-1 : φβ(Uβ ) → φα(Uα)

    φβºφα-1 : φα(Uα) → φβ(Uβ)

son aplicaciones \( C^\infty \) .

3) El atlas es maximal quiere decir que el atlas no está contenido en otro atlas, es decir, contiene a todas las posibles cartas.


Es muy importante pararse un poco en el concepto de atlas en su punto 2. Viene a decir que el cambio de coordenadas entre varias cartas puede hacerse de manera difenreciable, esto es el famoso teorema de cambio de coordenadas para superfícies regulares, pero ahora en lugar de ser un teorema forma parte de la defición.

Dado un espacio topológico, queremos que todo entorno de un punto sea parecido a un \( \mathbb{R}^n \). Esto es lo que hace una carta, representa un entorno de la variedad como un abierto de \( \mathbb{R}^n \).

Definición de Variedad diferenciable



Una variedad diferenciable C es un espacio topológico Hausdorff dotado de un atlas maximal C.
En una curva en \( \mathbb{R}^n \) se define el espacio tangente como el generado por el vector tangente a la curva.

En una superficie regular en Rn se define el espacio tangente como aquel generado por dos vectores tangentes linealmente independientes: un plano.

En una variedad diferenciable, en general no hay espacio ambiente, por lo tanto el concepto de espacio tangente debe definirse de un modo un poco diferente. Lo que se hace es, dada una función en la variedad, tomar como vectores tangentes el operador derivada direccional de dicha función.

Sea x un punto de la variedad diferenciable M, sea \( (U, \varphi) \) una carta cuyo entorno coordenado U contiene a x, sea f una funcion de la variedad en \( \mathbb{R} \), Entonces se define un vector tangente en x y en la dirección i como

\( \partial_{i} = \frac {\partial(f o \varphi^{-1}) }{\partial x_{i}}(x) \)

Lo primero a notar es que

\( \begin{matrix} \; \; \; \; \varphi & f \\ \mathbb{R}^n \mapsto & M \mapsto \mathbb{R} \end{matrix} \)

Por tanto \( \partial_{i} \) es un operador que toma funciones y las aplica en elementos de \( \mathbb{R} \), calcula su derivada en la dirección i en cada punto.

Ahora bien, todo vector del espacio tangente, en general es entonces una combinación lineal de estos operadores.

Definición de espacio tangente



Así consideramos la base de vectores \( \partial_{1}, \partial_{2}, ..., \partial_{n} \) las cuales generan un espacio vectorial en cada punto p de M que llamamos espacio tangente de M en p y denotamos por \( T_p(M) \). Por tanto

\( T_p(M)^ = SPAN(\{ \partial_{1}, \partial_{2}, ..., \partial_{n} \}) \)

Así Todo elemento V del espacio tangente es de la forma:

\( V \in T_p(M) \Rightarrow V = \sum_{j=1}^{n} C_j\partial_j \)

Además, se define el dual de Tp(M) que se llama espacio cotangente en p y que denotamos como \( T_p(M)^* \) que es generado por la base de covectores.

\( T_p(M)^* = SPAN(\{ dx^{1}, dx^{2}, ..., dx^{n} \}) \)

También llamados 1-formas.


Esta sección es bien abstracta, por eso no incluiremos mucha más teoría aquí, solo hacer énfasis de nuevo que la definición de variedad contiene el teorema de cambio de coordenadas, lo que supone una diferencia notable con las superficies regulares o las curvas.





Ha sido util? Alguna idea para complementar el texto?



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